環 $A_R$ の $*$-表現

この節では、

の $*$-表現を決定する。結果は、実に簡単である。

定理 4.1   $A_R$ のヒルベルト空間への$*$-表現で、0 でないものがあったとする。 このとき、$R$ は正の整数である。さらに、このとき、$A_R$ の任意の 表現はつぎのような特別な一つの表現 $H_R$ の何個かの直和(いいかえると、 $H_R$ と単なるベクトル空間とのテンソル積)である。

• $H_R$ の有限次元であって、その次元 $K$ は $(R+n)!/n!R!$ に等しい。
• この表現から決まる自然な $*$-準同型 $A_R\to {\mathbb{B}}(H_R)\cong M_K({\Bbb C})$ は全射である。

この定理の系として、$A_R$ の包絡 $C^*$ 環が計算できる。

系 4.1   $A_R$ の$C^*$-包絡環を$C^*(A_R)$ と書くことにすると、

$$C^*(A_R)= \begin{cases} M_{K}({\Bbb C}) & \text{($R$ が整数ぎ.. ...=(R+n)!/n!R!$)} \\ 0 & \text{($R$ が整数でない時)} \end{cases}$$

次の小節以降で証明の概略を述べよう。 なお、この節全体を通じて、$\delta$ はクロネッカのデルタをさす。