環 $A_R$ の$*$-表現 $H_R$ の正体 II

前々節の例は次のように理解することもできる。

$A={\Bbb C}[z_i,\overline{z_j}]$ を、 $H=L^2(R^{n+1})$ への $*$-表現 $\Phi$ を、

で定義する。(実は、かなりゆるい条件のもとで、$S$ の $*$-表現は このようなもの(のいくつかの直和)しかないことを示すことができる。 )

$T=\sum_i z_i \overline{z_i}$ は $H$ 上の正値な作用素である。 $T$ の固有関数を考えよう。各 multi-index $\alpha$ に対して 次のような $H$ の元を考える。 (これは、定数倍を除いて $\Phi(z^\alpha)e^{-x^2/2}$ に一致する。)

$$\phi_\alpha=H_{\alpha}(x)e^{- x^2/2}$$

ここに、 $H_{\alpha}$ は、エルミート多項式

$$H_{\alpha}(x)=e^{x^2}(d/dx)^{\alpha}(e^{-x^2})$$

である。 すると、各 $\phi_\alpha$ は、$T$ の $\vert\alpha\vert$ に属する固有ベクトルであり、 かつ、 $\{\phi_\alpha\}$ はヒルベルト空間 $H$ の直交基底をなすことがわかる。

$N(J)$ は $T$ の各固有空間を保つことから、 $N(J)$ の表現をそれらの固有空間上に 実現することができる。これが $A_R$ の表現 $H_R$ の正体である。

このように考えてみると、$A_R$ の表現は $A$ の表現から誘導されたものしかない ということになる。これでは如何にもつまらないのだが、この問題については 次の機会に考えることにする。