このような級数同士の積について

二番目に注意したいことは、上の巾級数が乗法について良い性質を持つ ということである。実際、分配法則を何回も使うと、

   $$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}y^n =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(x+y)^n$$

がわかる。

(上の等式は無限和の間の関係なので、 実際にはもっと注意深く議論しなければならない。 とはいえ前述のようにこれらの巾級数は収束が著しく速いので 扱いはそれほど難しくない。)

この等式 2.3 こそ、この巾級数が正の数の巾乗の性質

$$e^x e^y=e^{x+y}$$

と同じ性質を持つことの証明であり、この性質と連続性の議論、それに、

$$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$$

という $e$ の性質を併用することによって、 ここに巾級数として定義したものが前節の $e^x$ と一致することを 示すことができる。