正の数の有理数乗

$e$ の整数乗はかけ算を繰り返すことにより簡単に定義できる。 $e$ の有理数乗については、3.4 節で述べたような問題があるけれども、 基本的には 3.5 節のように定義すれば良い。つまり、

$$e^{n/m}=(\sqrt[m]{e})^n \quad (\text{ $n$ は整数, $m$ は正の整数}$$

ただし、 $\sqrt[m]{e}$ は $m$ 乗して $e$ になるような正の 数である。有理数 $q$ を $n/m$ という風に書く方法は ($1/2=2/4$ のように) 無限にあって、その書き方によらずに $e^q$ が定義される ことを示す必要がある。(3.4節で見たように、一見当り前に見えることでも 一度確かめておくことを怠ると、間違いをおかす可能性があるから、あなどれない。) ここでは、 「一般に、正の数 $a$ に対して、$m$ 乗して $a$ になる正の数は ただ一つしか無い」ということが、キーポイントなのだ。詳細は 皆さんにお任せしよう。(中間値の定理なんかが、重宝するかも知れない。)

上の定義は指数法則が成り立つようにさだめられたもので、 指数法則を満たすように $e$ の有理数乗を定義し、 しかも $e^q$ が正の値をとるように要請しようとすると、 その定義は必然的にこうなる。しかし、$e$ の実数乗を定義しようとする さいには、別の注意が必要になる。それを次の小節で述べることにしよう。