ちょっと注意

 

みんな同時進行的に同じ問題を考えていたので、他にもいろんな意見や問題が出て来る。 それらを言うまえに、(★)についてちょっとだけ注意しておこう。 (本当はこれはお茶会のあとで気づいたことで、 今注意してしまうとちょっとその場の雰囲気から離れてしまうおそれがあるんだけど、 だからといって今注意しておかないと、 今読んでいるあなたまで混乱してしまうからね。)

(★)はいいアイディアなんだけど、次の間違いと同じ問題点を含んでいる。

$$\text{一般に、}\sqrt{a^2}=a \text{ ゆえに、 } a=-2\text{ として、}\sqrt{(-2)^2}=-2.$$

(ブー。本当は $\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$ だ。) どうしてこうなってしまうか、というのを自分で考えるのは、 とても良いことだから、それを強くお勧めするんだけれど、 一つだけヒントをだしておこう。それは、 正の数 $a$ に対して、$\sqrt{a}$ とは、 2乗して $a$ になるような正の数のことだけど、 二乗して $a$ になる数は実際には正、負の両方があって、 正のほうを選ぶのは(書くのに便利、とかいう理由はあるけれど)必ずしも自然ではない。 ということなんだ。

(★)に戻ってみると、 $(-2)^{1/2}$ (これは 《二乗して $-2$ になる数》のことだね) は確かに《四乗して、$4$ になる数》ではあるのだけれども、 四乗して $-2$ になる数は実は $4$ つ( $\pm\sqrt{2},\pm\sqrt{2}i$)あって、 そのうち二つは二乗しても $-2$ にはならないんだよね。