正の実数の $\log$

正の数の対数は易しい。というのも、

$$\mbox{${\Bbb R}$}\ni x \mapsto e^x \in \mbox{${\Bbb R}$}_{>0}=\{r \in \mbox{${\Bbb R}$}; r>0\}$$

が $\mbox{${\Bbb R}$ }$ と $\mbox{${\Bbb R}$ }_{>0}$ との間の一対一上への写像をあたえるため、 その逆写像として対数関数を定義すれば良いからである。 (良く知っている読者のための注意。「簡単である。」と言っているが、 実はこの一文の正当性を主張するには、 密かに、連続関数の中間値の定理が使われている。 さらに、対数関数の微分可能性等に言及するためには、 いわゆる逆関数の定理をもちいることになる。)

以下では、これを特別に $\operatorname{Log}$ と書き、話の道標とすることにする。