$i$ の平方根

$i$ の平方根というのが前節で出て来たけが、これは本当に新しい数なのだろうか？ 「新しい数」を導入するのももちろん面白い考え方だけれども、 まず今までの複素数で本当に $i$ の平方根がないのかどうか 確かめるのもとても大事だ。試しに

$$(a+bi)^2=i \quad (a,b\in \mbox{${\Bbb R}$})$$

というのを解いてみるとしよう。

$$a^2-b^2=0,\quad 2ab=1$$

というのが出て来て、あら不思議、

$$a+bi= \frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{\sqrt{2}}{2}i \text{ または } a+bi= -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

と、ちゃんと解けてしまった。だから、実は無理に新しい数を導入する必要はない。

(「新しい数を導入する基準は何なんだ、」あるいは、 「本当に $i$ なんて導入して良かったんだろうか？」という疑問が出そうだ。 既存の「数」に新しい「数」を付け加えてどうなるかを調べることは、例えば 代数学でよく取り扱われることで、 「環や体の拡大の理論」と呼ばれるものがそれにあたる。 拡大(新しい数を付け加えること)ができたとして、 それがとても良い性質を満たすかどうかは、解析学などでも重要なテーマで、 たとえば複素数にたいしては「複素解析学」と呼ばれる美しい理論があって、 複素数導入の動機付けの一つを与えている。)

じつは、もう一つ別のやり方で$i$ の平方根を出すこともできる。

$$z^4+1=(z^2+\sqrt{2}z+1)(z^2-\sqrt{2}z+1)$$

と強引に「因数分解」して二次方程式の解の公式を用いる方法だ。 この方法だと《4乗して $-1$ になる数》が出て来るけれども、そのうち 二つは二乗して $-i$ になるので、少し注意が必要だ。

もう一つ計算してみよう。3乗して $1$ になる複素数はどれぐらいあるか ご存知だろうか？

$$z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$$

というのを使うと、

$$z=1 \text{ または } z=\frac{-1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$$

という答が出て来る。

これらの、《何とか乗して $1$ になる数》のことをよく「一の巾根」 とよぶ。(そのまんまやんけ!)

一の巾根をガウス平面にプロットしてみると、実に面白いことに気づく。

• これらの点は全て単位円周上に乗っている。
• これらの点は円周上の等分点にある。
• じつはそれらは $\cos(2\pi i r) +i\sin(2\pi i r)$ ($r$ は有理数)の形をしている。(ネタバレ(笑))

これは「複素数の積が幾何学的にはどのように解釈できるか」という ことから説明できる。面白いから是非試してみてほしい。

上の最後の主張は、いままで関係ないと思っていた三角関数が、 実は巾乗を考える上で大事なことを意味している。 次の節でその点に少し触れよう。