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鐃緒申鐃緒申鐃�II 鐃緒申鐃緒申 No.11

鐃緒申鐃緒申鐃塾テ￥申鐃緒申:

\fbox{フロベニウス写像・1変数の方程式のゼータ関数}

鐃緒申鐃緒申 11.1   $ R$ 鐃熟環で￥申鐃緒申鐃緒申鐃叔随申 $ p$ 鐃緒申鐃緒申鐃獣て￥申 $ p_R= \overbrace {1_R+1_R+\dots +1_R} ^{\text{$p$ 個}} =0_R$ 鐃緒申 鐃緒申鐃緒申立鐃獣てわ申鐃緒申箸鐃緒申襦� 鐃緒申鐃塾とわ申鐃緒申 $ \Phi:R\to R$ 鐃緒申 $ \Phi(x)=x^p$鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃出￥申$ \Phi$ 鐃緒申 $ R$ 鐃緒申鐃初そ鐃曙自鐃夙への緒申同鐃緒申(鐃緒申鐃淑緒申同鐃緒申)鐃緒申与鐃緒申鐃暑。

$ \Phi$ 鐃緒申 $ k$ 鐃藷繰わ申鐃瞬わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ (\Phi)^k$ 鐃緒申

$\displaystyle (\Phi)^k(x)=x^{p^k} $

鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃暑こ鐃夙にわ申鐃緒申鐃春わ申鐃銃わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃� 11.1   鐃叔随申 $ p$ 鐃塾ベワ申 % latex2html id marker 1193 $ q=p^s$ 鐃祝わ申鐃緒申鐃緒申鐃銃￥申 % latex2html id marker 1195 $ {\mathbb{F}}_q$ 鐃塾鰹申鐃緒申鐃緒申 % latex2html id marker 1197 $ {\mathbb{F}}_{q^r}$ 鐃塾種申鐃緒申同鐃緒申

% latex2html id marker 1199 $\displaystyle \Phi_q: x\mapsto x^q $

鐃緒申 % latex2html id marker 1201 $ {\mathbb{F}}_{q^r}$ 鐃緒申 % latex2html id marker 1203 $ {\mathbb{F}}_q$ 鐃緒申離侫鐃緒申戰縫鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃銃縁申鐃緒申噺討屐鐃�

鐃緒申鐃緒申 11.2   $ f(X)$ 鐃緒申 % latex2html id marker 1208 $ {\mathbb{F}}_q$ 鐃緒申鐃� $ n$ 鐃緒申鐃塾器申鐃緒申多鐃準式鐃緒申鐃夙わ申鐃暑。鐃緒申鐃塾とわ申鐃緒申 $ f$ 鐃塾削申鐃塾逸申弔鐃� $ \alpha$ 鐃夙わ申鐃緒申函鐃�
  1. % latex2html id marker 1216 $ \alpha, \alpha^q, \alpha^{q^2},\dots,\alpha^{q^{n-1}}$ 鐃緒申 鐃緒申鐃曙ぞ鐃緒申 $ f$ 鐃塾削申鐃叔わ申鐃暑。
  2. $ f$ 鐃塾削申鐃熟常申乃鵑欧鐃緒申鐃塾で尽わ申鐃銃わ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 11.3   % latex2html id marker 1223 $ {\mathbb{F}}_{q^r}$ 鐃緒申 % latex2html id marker 1225 $ {\mathbb{F}}_q$ 鐃緒申亮鐃緒申鐃銃縁申鐃� ( % latex2html id marker 1227 $ {\mathbb{F}}_{q^r}$ 鐃緒申鐃緒申 % latex2html id marker 1229 $ {\mathbb{F}}_{q^r}$ 鐃舜の種申鐃緒申同鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 % latex2html id marker 1231 $ {\mathbb{F}}_q$ 鐃緒申鐃緒申鐃渋わ申鐃緒申塙鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申砲覆鐃緒申鐃�)鐃緒申鐃緒申鐃塾は￥申 % latex2html id marker 1233 $ \Phi_q$ 鐃祝わ申辰鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申命鐃� $ r$ 鐃塾緒申鷏欧任鐃緒申襦�

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃�11.2鐃緒申(1)鐃塾鰹申張鐃祝わ申鐃緒申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 11.4   $ n$ 鐃術随申鐃緒申多鐃準式 % latex2html id marker 1240 $ f_1,f_2,\dots,f_m \in {\mathbb{F}}_q[X_1,X_2,\dots,X_n]$ 鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ V_1=V(f_1,f_2,\dots,f_m)$ 鐃緒申鐃出わ申鐃銃￥申 鐃瞬フワ申鐃駿ニワ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 % latex2html id marker 1244 $ \Phi_q: V_1(F_{q^r})\ni x \mapsto \Phi_q(x)\in V_1(F_{q^r})$ 鐃薯次のよう鐃祝わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申任鐃緒申襦�

% latex2html id marker 1246 $\displaystyle \Phi_q(x_1,x_2,\dots,x_n)=(\Phi_q(x_1),\Phi_q(x_2),\dots,\Phi_q(x_n)) $

$ x$ 鐃緒申 % latex2html id marker 1250 $ \Phi_q$ 鐃緒申鐃緒申動鐃緒申 ( % latex2html id marker 1252 $ \Phi_q(x)=x$)鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙と￥申 % latex2html id marker 1254 $ x\in V_1(F_q)$ 鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙とわ申同鐃粛でわ申鐃暑。

鐃旬講居申鐃叔は随申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃熟刻申同鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃舜随申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申調鐃駿わ申能鐃塾ヒワ申箸砲覆襦�

1鐃術随申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾ワ申鐃緒申鐃緒申鐃舜随申鐃緒申鐃緒申蠅件申討鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃殉わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃祝つわ申鐃銃の器申単鐃緒申鐃緒申鐃所か鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 11.5   % latex2html id marker 1257 $ {\mathbb{F}}_q$ 鐃緒申鐃�1鐃術随申 $ n$ 鐃緒申多鐃準式 $ f(X)$ 鐃緒申鐃出わ申鐃銃￥申
  1. $ f$ 鐃塾器申鐃緒申鐃緒申鐃� % latex2html id marker 1265 $ q$ 鐃緒申 $ f$ 鐃緒申 % latex2html id marker 1269 $ X^{q^k}-X \quad (k=\deg(q))$ 鐃夙の駈申鐃縮逸申鐃述でわ申鐃暑。
  2. $ f$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申任鐃緒申襪随申鐃緒申必鐃竣緒申分鐃緒申鐃熟￥申 $ k=1,2,\dots,n-1 $ 鐃塾各￥申鐃緒申鐃出わ申鐃緒申 $ f(X)$ 鐃緒申 % latex2html id marker 1277 $ X^{q^k}-X $ 鐃夙わ申鐃緒申鐃縮逸申鐃述わ申發随申覆鐃緒申鐃緒申箸任鐃緒申襦�
鐃純え鐃出￥申 % latex2html id marker 1279 $ {\mathbb{F}}_q$ 鐃緒申鐃�4鐃緒申鐃殉わ申鐃緒申5鐃緒申鐃緒申1鐃術随申多鐃準式 $ f(X)$ 鐃熟￥申% latex2html id marker 1283 $ X^{q^2}-X$ 鐃夙駈申鐃縮逸申鐃述わ申 鐃盾た鐃淑わ申鐃緒申亟鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 11.6   % latex2html id marker 1286 $ {\mathbb{F}}_q$ 鐃緒申隆鐃緒申鐃緒申1鐃術随申 $ n$ 鐃緒申多鐃準式 $ f(X)$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦ｏ申鐃緒申里箸鐃緒申鐃�
  1. $ f(X)$ 鐃緒申 % latex2html id marker 1294 $ {\mathbb{F}}_{q^r}$ 鐃塾なわ申鐃祝削申鐃緒申鐃縦のわ申 $ r$ 鐃緒申 $ n$ 鐃緒申鐃旬随申鐃塾とわ申鐃祝限る。
  2. $ r$ 鐃緒申 $ n$ 鐃緒申鐃旬随申鐃淑わ申弌鐃� % latex2html id marker 1304 $ {\mathbb{F}}_{q^r}$ 鐃塾なわ申鐃緒申 $ f(X)$ 鐃塾削申鐃熟わ申鐃順う鐃緒申 $ n$ 鐃縦わ申鐃暑。

命鐃緒申 11.1   % latex2html id marker 1311 $ {\mathbb{F}}_q$ 鐃緒申隆鐃緒申鐃緒申1鐃術随申多鐃準式 $ n$ 鐃緒申多鐃準式 $ f(X)$ 鐃緒申鐃出わ申鐃銃￥申 $ V(f)$ 鐃塾刻申同鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃舜随申鐃緒申

$\displaystyle Z(V(f),t)=1/(1-t^n) $

鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申鐃緒申辰鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃夙￥申鐃緒申鐃塾ｏ申鐃緒申呂鐃緒申覆鐃薯きやす鐃緒申鐃淑る。

鐃緒申鐃緒申 8.1 鐃緒申鐃塾よう鐃緒申(1)-(3)鐃緒申鐃緒申鐃�((4)鐃緒申鐃薯きやす鐃緒申鐃処う鐃緒申)鐃緒申鐃�,(4)鐃緒申 鐃緒申 鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

(1) 鐃叔随申 $ p>2$

(2) 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ n>2$

(3) $ {\mathbb{F}}_p$ 鐃緒申鐃緒申鐃循なわ申 $ n$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申多鐃準式 $ f,g\in{\mathbb{F}}_p[X]$

(4) $ {\mathbb{F}}_p[X]/f(X){\mathbb{F}}_p[X]$ 鐃叔わ申 $ g$ 鐃塾一次鐃緒申鐃舜わ申 分鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 9.1 $ p=5$ 鐃夙わ申鐃暑。 $ {\mathbb{F}}_p$ 鐃緒申離鐃祝ッワ申鐃緒申4鐃緒申鐃緒申鐃緒申多鐃緒申 鐃緒申 $ f$ 鐃緒申鐃緒申鐃藷げ￥申 $ f$ 鐃塾逸申弔虜鐃緒申鐃� $ \alpha$ 鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ f$ 鐃緒申他 鐃塾削申鐃緒申 $ \alpha$ 鐃叔わ申鐃緒申錣件申覆鐃緒申鐃緒申鐃� (鐃縦まり、 $ f$ 鐃緒申 $ {\mathbb{F}}_p[\alpha]$ 鐃緒申念貅￥申鐃緒申鐃緒申僂鐃淑�鐃薯しなわ申鐃緒申鐃緒申)

鐃緒申鐃緒申 11.1   $ {\mathbb{F}}_3$ 鐃緒申鐃渋随申犲� $ f(X)=X^4+1$ 鐃緒申鐃出わ申鐃銃￥申
  1. $ f$ 鐃緒申 $ {\mathbb{F}}_3$ 鐃緒申隆鐃緒申鐃緒申多鐃準式鐃緒申鐃術わ申分鐃薯しなわ申鐃緒申鐃緒申
  2. $ V(f)$ 鐃塾刻申同鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃舜随申 $ Z(V(f),t)$ 鐃緒申鐃緒申茵�
(鐃述ワ申鐃�: $ f$ 鐃緒申 $ {\mathbb{F}}_3$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申任呂覆鐃�鐃塾で￥申命鐃緒申 11.1鐃緒申 鐃緒申鐃塾ままでは使わ申鐃淑わ申鐃緒申)

鐃緒申鐃緒申 11.2   $ 4$ 鐃叔鰹申鐃緒申 $ 3$ 余鐃緒申茲�鐃緒申鐃叔随申 $ p$ 鐃緒申鐃出わ申鐃銃は￥申 $ a\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃緒申 鐃宿のよう鐃緒申鐃緒申鐃緒申任癲� $ X^4-a$ 鐃緒申 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃緒申鐃緒申鐃祝なわ申覆鐃緒申鐃緒申箸鮗┐鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 11.3   $ 4$ 鐃叔鰹申鐃緒申 $ 1$ 余鐃緒申茲�鐃緒申鐃叔随申 $ p$ 鐃緒申鐃出わ申鐃銃￥申 $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})^\times$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ r$ 鐃緒申箸襦ｏ申鐃緒申里箸鐃緒申鐃�
  1. $ r^{(p^2-1)/4}=-1$ 鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申
  2. $ X^4-r$ 鐃緒申 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃緒申鐃緒申鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

(鐃述ワ申鐃�:任鐃春わ申鐃叔随申 $ p>2$ 鐃緒申 $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})^\times$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ r$ 鐃夙わ申鐃出わ申鐃銃￥申 $ r^{(p-1)/2}$ 鐃緒申 $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})^\times$ 鐃塾位随申 $ 2$ 鐃塾醐申鐃叔わ申鐃暑。(鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申))

鐃緒申鐃緒申 11.4   $ {\mathbb{F}}_p$ 鐃塾醐申 $ a$ 鐃叔￥申鐃宿わ申鐃� $ b\in {\mathbb{F}}_p$ 鐃緒申箸辰討鐃緒申討鐃� % latex2html id marker 1419 $ b^2\neq a$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申里鐃粛随申鐃緒申鐃曙た鐃夙わ申鐃暑。 $ f(X)=X^2-a$ 鐃夙わ申鐃緒申 $ R={\mathbb{F}}_p[X]/f(X){\mathbb{F}}_p[X]$ 鐃緒申 $ {\mathbb{F}}_p$ 鐃緒申鐃� 2鐃緒申鐃緒申鐃駿ワ申鐃夙ワ申鐃緒申屬噺鐃緒申鐃緒申箸鐃緒申鐃� $ R\ni r\mapsto r^2\in R$ 鐃緒申表鐃緒申鐃緒申鐃緒申茲�鐃緒申 2鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ A$ 鐃緒申鐃夙め、 $ \operatorname{tr}(A^k)$ 鐃緒申彁鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃� $ V(X^2-a)$ 鐃塾刻申同鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃舜随申鐃夙わ申鐃塾件申未隆愀鐃緒申砲弔鐃緒申董鐃緒申錣�鐃暑こ鐃夙わ申 (鐃竣わ申鐃春わ申鐃渋わ申)鐃述べよ。

( $ \operatorname{tr}(A^k)$ 鐃緒申 $ {\mathbb{F}}_p$ 鐃塾醐申鐃叔わ申鐃暑か鐃初、鐃瞬個随申鐃竣とわ申鐃緒申鐃緒申( $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃塾醐申) 鐃緒申鐃緒申戮鐃夙常申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃縮わ申鐃緒申鐃緒申襦� 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申如鐃�$ X^2-a$ 鐃緒申任鐃春の器申鐃緒申多鐃準式鐃緒申鐃瞬わ申鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申同鐃粛のわ申鐃夙わ申 鐃叔わ申鐃緒申里鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃熟常申鐃緒申鐃書しわ申鐃緒申鐃緒申里如鐃緒申鐃緒申鐃緒申任鐃緒申鐃緒申鐃夙わ申鐃銃は課わ申鐃淑わ申鐃緒申)

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2002年7鐃緒申2鐃緒申