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鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� I 鐃緒申鐃緒申 No.1

\fbox{本講義の目的}

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鐃緒申鐃緒申鐃塾テ￥申鐃緒申:

\fbox{環の直積分解}

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\begin{displaymath}(a,b) + (c,d)=(a+c,b+d), \quad (a,b)\times (c,d)= (ac,bd) \end{displaymath}

$R_1$ 鐃緒申 $R_2$ 鐃塾環とわ申鐃銃わ申直鐃術わ申鐃緒申鐃緒申 $R_1\times R_2$ 鐃夙書く￥申

鐃緒申鐃緒申 1   $R_1,R_2$ 鐃熟環でわ申鐃緒申箸鐃緒申襦ｏ申鐃緒申里箸鐃緒申鐃�
1.
$R_1\times R_2$ 鐃熟環になる。
2.
$R_1,R_2$ 鐃緒申単鐃縮醐申 鐃緒申鐃緒申鐃曙ぞ鐃緒申 $1_{R_1},1_{R_2}$ 鐃夙わ申鐃緒申函鐃� $R_1\times R_2$ 鐃緒申単鐃縮醐申鐃緒申 $(1_{R_1},1_{R_2})$ 鐃叔わ申鐃暑。
3.
$R_1,R_2$ 鐃緒申鐃夙わ申鵬調鐃緒申覆鐃出￥申 $R_1\times R_2$ 鐃緒申調鐃緒申任鐃緒申襦�

鐃緒申鐃緒申 1   $R$ 鐃緒申単鐃縮醐申鐃緒申鐃縦可器申鐃縦でわ申鐃緒申箸鐃緒申襦ｏ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� $R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申 $I,J$ 鐃緒申 存鐃淳わ申鐃緒申伐鐃緒申蠅刻申襦�

$ \exists s \in I$ 鐃緒申 $\exists t \in J$ 鐃緒申鐃緒申鐃獣わ申 $s+t=1$ 鐃緒申澆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃塾とわ申鐃緒申 $R/(I\cap J)$ 鐃緒申 $R/I\times R/J$ 鐃緒申同鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申鐃緒申弔鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃術わ申鐃緒申函鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申適鐃緒申鐃純が鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申襦�

鐃緒申鐃緒申 2   単鐃縮醐申鐃緒申鐃縦可器申鐃緒申 $R$ 鐃塾醐申 $x,y,a,b$ 鐃緒申鐃緒申鐃舜件申鐃緒申 $ax+by=1$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃出￥申
1.
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2.
$I\cap J=(xy)$ 鐃叔わ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 3   $R$ 鐃緒申 PID 鐃叔￥申 鐃緒申鐃緒申鐃緒申弔慮鐃� $x,y \in R\setminus \{0\}$ 鐃緒申鐃緒申鐃縮わ申鐃叔逸申鐃述わ申發随申覆鐃緒申鐃出￥申 $ax+by=1$ 鐃夙なわ申 $R$ 鐃塾醐申 $a,b$ 鐃緒申存鐃淳わ申鐃暑。

鐃緒申 1 (鐃縦わ申直鐃緒申分鐃緒申龍鐃緒申鐃緒申鐃�)  
1.
$\mathbb Z/12\mathbb Z$ 鐃緒申 $\mathbb Z/3\mathbb Z\times \mathbb Z/4\mathbb Z$ 鐃緒申同鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。
2.
$\mathbb C[X]/(X^2-X)$ 鐃緒申 $\mathbb C[X]/(X)\times \mathbb C[X]/(X-1)$ 鐃緒申同鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。

鐃縦わ申直鐃緒申分鐃緒申砲鐃緒申鐃緒申討蓮鐃緒申鐃縦の器申鐃緒申的鐃淑醐申鐃緒申鐃緒申鐃竣わ申鐃緒申鐃緒申未鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 4  
1.
$R_1,R_2$ 鐃緒申単鐃縮醐申鐃緒申鐃縦可器申鐃縦でわ申鐃緒申箸鐃緒申襦ｏ申鐃緒申里箸鐃� $R_1\times R_2$鐃塾醐申 $e_1,e_2$ 鐃緒申 $e_1=(1,0),e_2=(0,1)$ 鐃祝わ申辰鐃緒申鐃緒申鐃夙￥申鐃緒申鐃塾わ申鐃夙わ申 鐃緒申鐃緒申立鐃縦￥申

\begin{displaymath}e_1^2=e_1, e_2^2=e_2, e_1+e_2=1, e_1e_2=0 \tag ★ \end{displaymath}

2.
$R$ 鐃緒申単鐃縮醐申鐃緒申鐃縦可器申鐃縦でわ申鐃緒申箸鐃緒申襦ｏ申發� $R$ 鐃塾醐申 $e_1,e_2$ 鐃叔￥申 $(\text{★})$鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申里鐃渋醐申澆鐃緒申鐃出￥申 $R$ 鐃緒申 $R/(e_1) \times R/( e_2)$ 鐃緒申 同鐃緒申鐃祝なる。

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃祝わ申蝓�鐃縦わ申直鐃緒申分鐃薯しわ申鐃緒申鐃夙わ申鐃祝は￥申 $(\text{★})$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 鐃緒申 $e_1,e_2$ 鐃緒申探鐃緒申鐃出わ申鐃緒申鐃緒申鐃夙わ申鐃緒か鐃暑。$e_1,e_2$ 鐃塾わ申鐃夙わ申 (直鐃緒申分鐃緒申鐃緒申弍鐃緒申鐃緒申鐃�)鐃粛影と呼ぶ￥申

鐃緒申鐃緒申鐃縦の器申 $R_1,R_2,R_3$ 鐃緒申直鐃術わ申鐃緒申弔両鐃緒申鐃銃縁申佑鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申襦� 鐃緒申 $(R_1\times R_2)\times R_3$ 鐃緒申 $R_1\times R_2\times R_3$ 鐃緒申 同鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。鐃緒申鐃縦以常申任鐃銃縁申諭鐃�

鐃緒申鐃緒申 1.1  
鐃緒申鐃緒申鐃塾緒申鐃緒申鐃瞬刻申鐃� $k$ 鐃夙わ申鐃暑。(鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申 97sm150 鐃淑わ申 $k=150$)
1.
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2.
鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $n$ 鐃緒申 $113$ 鐃叔鰹申辰鐃緒申鐃� $1$ 余鐃所、$353$ 鐃叔鰹申辰鐃緒申鐃� $2$ 余鐃所、 $151$ 鐃叔鰹申辰鐃緒申鐃� $k$ 余鐃獣わ申鐃夙わ申鐃暑。鐃緒申鐃塾とわ申鐃緒申$n$ 鐃緒申 $113\times 353\times 151$ 鐃緒申 鐃緒申辰鐃粛常申鐃熟わ申鐃緒申鐃初か鐃緒申


Yoshifumi Tsuchimoto
2000-10-21