�����Ƚ������� No.13

��13���ܤμ��� :

��� 13.1 (��)   ���� $X$ ����ʬ�����² $\{C_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$ �� $X$ �����饹ʬ�� (ʬ���Ȥ����)�Ǥ���Ȥϡ��Ĥ��Τ��Ȥ�����Ω�ĤȤ��˸�����

1. $$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} C_\lambda =X$$ .
2. $\lambda_1,\lambda_2 \in \Lambda$ , $\lambda_1 \neq \lambda_2$ �ʤ�� $C_{\lambda_1} \cap C_{\lambda_2} =\emptyset$ .

��� 13.2 (��)   $X$ ��2�Ĥθ� $x,y$ �ˤ������ơ�$x \sim y$ ���������Ǥʤ�( $x\not\sim y$ ) �� �����������ޤäƤ��ơ�������������ĤȤ���$\sim$ �Τ��Ȥ� $X$ ���Ʊ�ʹط��Ȥ�����

1. $\forall x \in X \forall y \in X \forall z \in X$ (��$x \sim y$ and $y \sim z$ ��$\implies$ $x \sim z$ ).
2. $\forall x \in X$ ($x \sim x$ ).
3. $\forall x \in X \forall y \in X$ ($x \sim y$ $\implies$ $y \sim x$ ).

��Ʊ�ʹط��פȡ������Ǹ����Ȥ����Ρ�Ʊ�͡פȤ� (���ο��̤��餤�ˤϤ����뤬)����ʪ�Ǥ��롣�褯���̤��뤳�ȡ�

���� 13.1 (��)   $X$ �Υ��饹ʬ�� $\{C_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$ ��Ϳ����줿�Ȥ��� $x \sim x'$ �Ǥ��뤳�Ȥ�

$$\exists \lambda ( x\in C_\lambda$$    and $$x' \in C_\lambda)$$

���ݤ���Ƚ�ꤹ��С����� $\sim$ ��Ʊ�ʹط��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 13.2 (��)   $X$ ��Ʊ�ʹط� $\sim$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 $x \in X$ ���Ф��ơ�

$$C_x= \{ x' \in X ; x'\sim x\}$$

�Ȥ����Ȥ������Τ��Ȥ򼨤��ʤ�����

1. $x \in C_x$ . �Ȥ��ˡ� $$\bigcup_{x \in X } C_x =X$$ .
2. $x' \in C_x$ $\implies$ $x \in C_{x'}$ .
3. $C_x \cap C_{x'} \neq \emptyset \ {\Leftrightarrow}\ x \sim x' \ {\Leftrightarrow}\ C_x = C_{x'}$ .

��ۤɤ�Ʊ�ͤˡ�$C_x$ �Τʤ������ʣ�����Τ�ʤ����Ȥˤ�ꡢ $X$ �Υ��饹ʬ�������뤳�Ȥ��Ǥ��롣 �ưפ�ʬ����褦�ˡ��嵭2��������ϸߤ��˵դˤʤäƤ��롣 ���ʤ�������饹ʬ����Ϳ���뤳�ȤȤ�Ʊ�ʹط���Ϳ���뤳�Ȥ� �ܼ�Ū��Ʊ�����Ǥ��롣

��� 13.3   ���� $X$ ��Ʊ�ʹط� $\sim$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��� ���� 13.2 �Ǹ����褦�� $X$ �˼��Τ褦�ʥ��饹ʬ������ޤ�ΤǤ��ä���

$$x_1\in X$$    �� $$x_2 \in X$$    �Ȥ�Ʊ�����饹 $${\Leftrightarrow}x_1 \sim x_2.$$

���Υ��饹ʬ���ˤ�륯�饹�����Τ� $X/\sim$ �Ȥ�ӡ�$X$ �� $\sim$ �ˤ�� �������Ȥ�֡�

���� 13.3 (��)   ���� $f:X \to Y$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��� $x \sim_f x'$ ���ݤ���Ƚ��� $f(x) = f(x')$ ���ݤ��Ǥ���Ȥ��� ���ʤ����

$$x \sim_f x' \ {\Leftrightarrow}\ f(x) = f(x')$$

������Ȥ���$\sim_f$ �� $X$ ��Ʊ�ʹط��Ǥ��뤳�Ȥ� ����˽��äƼ����ʤ�����

�������� $\sim_f$ ��ʲ��Ǥ�ή�Ѥ��롣

���� 13.4 (��)   $f: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $f(n)=n^2$ ���������Ȥ���

1. $1 \sim_f n$ �Ȥʤ�褦�� $n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �򤹤٤Ƶ��ʤ�����
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $\sim_f$ �˴ؤ��륯�饹ʬ����ɽ��񤭤ʤ�����

���� 13.5 (��)   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y) \mapsto x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ�

1. $(1,0) \sim_f (1,5)$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $(1,0) \not\sim_f (2,5)$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $(1,0) \sim_f (a,b)$ �Ȥʤ�褦�� $(a,b)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ �ò¤¹¤Ù¤Æµï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 13.6 (��)   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y) \mapsto x^2+y^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ�

1. $(1,0) \sim_f (0,-1)$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $(1,0) \not\sim_f (2,5)$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $(1,0) \sim_f (a,b)$ �Ȥʤ�褦�� $(a,b)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ �ò¤¹¤Ù¤Æµï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 13.7   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni t \mapsto (\cos(t),\sin(t)) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ�

1. $0 \sim_f 2 \pi$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $0 \not\sim_f \pi$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $0 \sim_f a$ �Ȥʤ�褦�� $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ò¤¹¤Ù¤Æµï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½
4. $a \sim_f b$ �Ȥʤ뤿��� $a,b\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��� �ʤ����������

���� 13.8   $X=$(ʿ��̾�����ΤΤʤ�����) , $y=$(����ե��٥åȾ�ʸ�����ΤΤʤ�����) , $f:X \to Y$ �� $x \in X$ ���Ф��ơ�$x$ �� �����޻���ʸ��ɽ��(�إܥ�)�������κǸ��ʸ���˼̤����Ȥˤ�����롣 ���ΤȤ���

1. ���ʤ��μ�ͳ�������ʿ��̾5ʸ�� $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ �ˤĤ��ơ� $f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4),f(x_5)$ ����ʤ�����
2. �֤� $\sim_f$ ���� �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. �֤� $\not\sim_f$ ���� �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
4. $\sim_f$ �˴ؤ���Ʊ�����饹�Ǥ��뤿��ξ���ʷ�˽Ҥ٤ʤ�����
5. ������ $X/\sim_f$ �θ��θĿ� $\char93 (X/\sim_f)$ �Ϥ����Ĥ���

���� 13.9   $X={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ , $Y=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ �Ȥ��� $f:X \to Y$ �� $f(x)=$($x$ ��10�dz�ä�;��) ��������롣 ���ΤȤ���

1. ���ʤ��μ�ͳ��������������� $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ �ˤĤ��ơ� $f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4),f(x_5)$ ����ʤ�����
2. $75 \sim_f 55$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $85 \not \sim_f 1018$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
4. $\sim_f$ �˴ؤ���Ʊ�����饹�Ǥ��뤿��ξ��� 10�ʿ��ˤ��ɽ���������ƴʷ�˽Ҥ٤ʤ�����
5. $x \sim_f y$ �� $x-y \in 10 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��Ʊ�ͤǤ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
6. ������ $X/\sim_f$ �θ��θĿ� $\char93 (X/\sim_f)$ �Ϥ����Ĥ���