����� II ���� No.1

��� 1.1 (�Ĥ����)   ���� $R$ ���ĤǤ���Ȥϡ�­�����ȸƤФ�����

$$+: R\times R \to R$$

�ȳݤ����ȸƤФ�����

$$\times :R\times R \to R$$

���������Ƥ��Ƽ������������������˸�����

1.

$R$ ��­�����˴ؤ��ƲĴ�����ʤ���

2.

$R$ ���ѤϷ��ˡ§����������

3.

$R$ ��­�����ȳݤ�����ʬ��ˡ§����������

4.

$R$ ���Ѥ˴ؤ���ñ�̸�����ġ�

��� 1.2 (��ʬ�Ĥ����)   $R$ ����ʬ���� $X$ �� $R$ ����ʬ�ĤǤ���Ȥϡ� ���ξ�郎����Ω�ĤȤ��ˤ�����

1.

$X$ �� $R$ ��­��������������ή�Ѥ��뤳�Ȥˤ��Ĥˤʤ롣

2.

$X$ �� $R$ ��ñ�̸� $1_R$ �򸵤Ȥ��ƴޤࡣ

��� 1.3 (���ǥ�������)   $R$ ����ʬ���� $Y$ �� $R$ �Υ��ǥ���ȤǤ���Ȥϡ� ���ξ�郎����Ω�ĤȤ��ˤ�����

1.

$Y$ �� $R$ �β�ˡ��ή�Ѥ��뤳�Ȥˤ��Ĵ����ˤʤ롣

2.

Ǥ�դ� $a\in R$ �� $y\in Y$ ���Ф��ơ� $ay$,$ya$ �ϤȤ��

$Y$ �θ��Ǥ��롣

��� 1.4 (�Ĥν�Ʊ�������)   �Ĥδ֤μ��� $\phi:R\to S$ ����Ʊ���Ǥ���Ȥϡ� ���ξ�郎����Ω�ĤȤ��ˤ�����

1.

$\phi(x+y)=\phi (x)+\phi(y)$ ��Ǥ�դ� $x,y$ �ˤĤ��Ƥʤꤿ�ġ�

2.

$\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ ��Ǥ�դ� $x,y$ �ˤĤ��Ƥʤꤿ�ġ�

3.

$\phi(1_R)=\phi(1_S)$ ���ʤꤿ��

���� 1.1 (�Ĥν�Ʊ������)   �Ĥδ֤ν�Ʊ�� $\phi:R\to S$ ��Ϳ�����Ƥ����Ȥ��롣 ���ΤȤ���

1.

$\phi$ �γ� $\operatorname{Ker}(\phi)$ �� $R$ �Υ��ǥ���Ǥ��롣

2.

$\phi$ ���� $\operatorname{Image}(\phi)$ �� $S$ ����ʬ�ĤǤ��롣

3.

$\phi$ �� $R/\operatorname{Ker}(\phi)$ �� $\operatorname{Image}(\phi)$ �Ȥδ֤� ��Ʊ����ͶƳ���롣

(��) ��ݡ�������

(�Ʋ�Υ�ݡ�������ϡ�����򤱤н�ʬ�Ǥ��� ʣ���򤤤����ˤϡ����Τʤ��Ǻ��ɤΤ�Τ� ���β�������ˤʤ�ޤ���)

$x,y$ �򤽤줾�����������ǯ�٤���ӳ����ֹ�(98����150��ξ�� x=98,y=150) �Ȥ������� $A$ ��

$$A=\begin{pmatrix} x &&y+256 \\ 2 && 0 \end{pmatrix}$$

�ȷ��롣����ˡ����� $\phi: {\Bbb C}[X] \to M_2({\Bbb C})$ ��

$$\phi(f)=f(A)$$

��������롣���ΤȤ���

���� 1.1   $\phi$ �γˤ�°����褦�� $X$ ��¿�༰�ǡ� $X$ ���󼡼������������ͼ����Ǥ���褦�ʤ�Τ���ò¤½¤ì¤¾ï¿½ï¿½ï¿½Ä¤Å¤ï¿½ (��3��)�󤲤ʤ����� (���줾��ʤ� $\operatorname{Ker}(\phi)$ �����뤫��ͳ���ź���뤳�ȡ�)

���� 1.2   ʣ�ǿ�����ʬ�ˤ�Ĺ���

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

�� $\phi$ �����ˤʤ뤿���ɬ�׾���$a,b,c,d$ �ΰ켡����ȤäƤ����ʤ����� (���������ͳ��ź���뤳��)