コタンジェントバンドルのシンプレクティック構造

$M$ は $C^\infty$ 多様体であるとする。$M$ のコタンジェントバンドル $T^* M$ は、$M$ 上のコタンジェントベクトルのモデュライ空間ともみなせる。 すなわち、$T^* M$ の上の点 $(x,p)$ を決めることは、 $M$ 上の点 $x$ と、$x$ での $M$ のコタンジェントベクトル $p \in T_x^*M$ とを 与えるのと同等である。$p$ を $T^* M$ に(余接写像で)引き戻すことにより、 各 $(x,p)$ には「トートロジカルな」余接ベクトル $\theta_p$ が 標準的に定まることが分かる。$\theta_p$ は (もちろん) $p$ に関して滑らかで、 $T^* M$ 上の 1-形式 $\theta$ を定める。 この議論から、$\theta$ の座標表示は、

$$\theta=p_idx^i$$

という具合になる。 $T^* M$ の シンプレクティック構造とは、 $\omega=d\theta$ によって定められるもののことをいう。 (この定義のいいところは座標のとり方によらないところと、 $d\omega=0$ が自明であるというところである。 $\omega$ が実際に非退化であること、および、$\omega$ の具体的な形については、 やはり座標 で

$$d\theta=dp_i\wedge dx^i$$

という具合に計算するのが楽であろう。)