《最高ウエイトベクトル》の存在

まず、互いに可換な自己共役元 $\{e_{ii}\}_{i=0}^n$ で生成される $H$ 上の(可換)フォンノイマン環を考え、 その中のうまい射影 をとることにより、$V=pH$ の元 $v$ にたいし、

   $i<j$ ならば $$e_{ij}v=0$$

が成り立つようにできる。 さらに、これらの $v$ に対して、

$$e_{i0}v=0$$

だから、 $(1+e_{00})$ は可逆であるということに注意すると、

$$e_{ii}v=0$$   (for $i>0$) ゆえに $$e_{00}=R$$

がなりたつ。 すなわち、$A_R$ の表現では、 《最高ウエイトベクトル》が常に存在する。さらに、各 $e_{ii}$ の有界性から、

$$e_{ij}^l v=0 (for v\in V ,i>j, l»0)$$

がわかり、リー環の表現論の定石に従って $R$ の整数性が導かれる。 $A_R$ の関係式から、$H$ が《水増し》(同じもののいくつかの直和) の違いを除いて一意に定まることはかなりやさしい。