$e_{ii}$ の正値性の確認

$A_R$ の $*$ 表現を考えるにあたって、 もともと、環 $A$ においては であるから、 気分的には $e_{ii}$ は正であることを仮定しても良いような気もする。 しかしこのことはわざわざ仮定しなくても必然的に出て来る。 この小節ではそのことを説明しよう。

だから、$H$ は二つのヒルベルト空間の直和である。

$$H=H^+\oplus H^-$$

$H^+$ 上では、 $\{e_{ii}\}_{i=0}^n$ はそのことごとくが正値であり、 $H^-$ 上では、 $\{e_{ii}\}_{i=0}^n$ はそのことごとくが$-1$ 以下の作用素である。

$$\sum_{i=0}^n e_{ii}=R>0$$

と仮定したから、今の場合には $H^-=0$. すなわち、$H$ 上で である。

注意

本題からは外れるが、$R<0$ のときは逆に である。このときには

$$A_R\ni e_{ij} \mapsto -(\delta_{ij}+e_{ji}) \in A_{(-R)}$$

なる同型の存在によって、$R>0$ の場合に帰着できる。