$\mathbb{P}^n$ with Fubini-Study 計量 を $({\Bbb C}^{n+1}\setminus \{0\},$standard 計量$)$ の 商 と見る。

$({\Bbb C}^{n+1}\setminus \{0\},$standard 計量$)$ には $S^1$ が作用している。 Lie 環の作用を ${\Bbb C}^{n+1}\setminus \{0\}$ の実座標系 $(x_0,y_0,x_1,y_1,\dots,x_n,y_n)$ を使って表現すると、

$$\theta\mapsto \theta \sum_i \left( x_i\frac{\partial}{\partial y_i}-y_i \frac{\partial}{\partial x_i} \right) =X_\mu$$

となり、モーメント写像は、

$$\mu=\frac{1}{2}\sum_i({x_i}^2+{y_i}^2)$$

で与えれば良いことがわかる。

$\mu$ の各 fiber は $2n+1$ 次元球面であり、それを $S^1$ で割れば 1.節のものと同じ $\mathbb{P}^n({\Bbb C})$ を得ることになる。

良く知られているように、複素多様体においては、メトリックとシンプレクティック 形式がうまく対応づけられることがある。(このような多様体を ケーラー多様体と呼ぶ。) ケーラー多様体にリー群が作用していて、その作用が複素構造および シンプレクティック構造を保つなら、そのシンプレクティック 商 も ケーラー多様体であることがわかる。今の例はその典型であって、 それを用いて $\mathbb{P}^n({\Bbb C})$ はケーラー多様体であり、計量が定まることがわかる。 それが Fubini-Study 計量 である。