$x^x$ の桁数は?

ちょっと寄り道して、$x$ が大きいとき $x^x$ がどれほど大きくなるか、 $x^x$ を十進数であらわしたときの桁数を考えてみよう。

$x^x$ の桁数と $x$ との間にどのような対応があるかわかるだろうか。