環論 No.10要約

    整域における整除の問題

環論においては、元 $x$ の性質を調べる代わりに、$x$ の生成するイデアル $(x)$ を調べるとうまくいくことがある。 とくに整除の問題はイデアルの包含関係に翻訳される。

定義 10.1   $R$ は環であるとする。$R$ の元のうち、 積に関して可逆なものを $R$ の可逆元と言い、 その全体を $R^\times$ であらわす。

$$R^\times =\{ x\in R ; \exists y \in R$$    に対して $$xy=yx=1$$   が成り立つ$$\}$$

例 10.2   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}^\times=\{\pm 1\}$, ${\mathbb{C}}^\times={\mathbb{C}}\setminus\{0\}$, ${\mathbb{C}}[X]^\times={\mathbb{C}}^\times$.

補題 10.3   可換環 $R$ の元 $x$ について、次は同値である。

1. $x \in R^\times$
2. $(x)=R$

定義 10.4   環 $R$ と $a,b\in R$ とにたいして、

1. $a \in b R$ のとき、 $a$ は $b$ の ($R$ における)倍元であるといい、 $b\vert a$ で書き表す。$b$ を主語として、$b$ は $a$ の ($R$ における) 約元であるともいう。
2. ある $u \in R^\times$ があって、$a=bu$ をみたすとき、$a$ と $b$ とは ($R$ において) 同伴であるという。

命題 10.5   整域 $R$ の元 $a,b$ にたいして、

1. $(a) \subset (b)\ {\Leftrightarrow}\ b\vert a$.
2. $a$ と $b$ が同伴 ${\Leftrightarrow}$ $(a)=(b)$.

定義 10.6   整域 $R$ が与えられているとする。$d_0\in R$ が $a,b\in R$ の 最大公約元($\gcd$) であるとは

$$\forall d \in R \left ( \ d \vert d_0 \quad {\Leftrightarrow}\quad ( d \vert a \text{ かつ }d\vert b) \ \right)$$

が成り立つときに言う。

$a,b$ の最大公約元がもし存在すれば、それを $\gcd(a,b)$ と書く。

定義を追っかけていくと、すぐに次のことがわかる。

命題 10.7   整域 $R$ が与えられているとする。$a,b\in R$ に対して、

$$d_0=\gcd(a,b) \ {\Leftrightarrow}\ (d_0)$$ は $$(a,b)$$ を含む単項イデアルの中で最小。

とくに、$a,b$ の最大公約数は同伴を除いて一意的である。

定義 10.8   可換環 $R$ の元 $x$ が素元であるとは、 $x\neq 0$ で、かつ $(x)$ が $R$ の素イデアルであるときにいう。

$\bullet$ $R= {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-5}]$ では

$$(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})=2 \cdot 3.$$

が成り立つ。このことから、$2,3$ は( $1+\sqrt{-5},1-\sqrt{-5}$ も) それぞれ$R$ の素元ではないことがわかる。 ところが、これらの数は $R$ ではこれ以上分解できない(次回。) $R$ では「素因数分解の一意性」が成り立たないのである。