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環論 No.6要約

《準同型とその核と像》

定義 6.1  

$R,S$ はともに(可換とは限らない)環であるとし、$f:R\to S$ をその間の写像とする。 このとき、$f$ が $R$ から $S$ への(環)準同型写像であるとは、次の条件が成り立つ ときにいう。

1. $f$ は $(R,+)$ から $(S,+)$ への群としての準同型である。すなわち、
   $$f(a+b)=f(a)+f(b)$$
   が、すべての $R$ の元 $a,b$ について成り立つ。
2. $f$ は $R$ の積を $S$ の積にうつす。すなわち、
   $$f(ab)=f(a)f(b)$$
   が、すべての $R$ の元 $a,b$ について成り立つ。
3. $f$ は($R$ の)単位元を($S$ の)単位元にうつす。すなわち、
   $$f(1_R)=1_S$$
   が成り立つ。

定義 6.2   環のあいだの全単射準同型のことを、(環としての)同型とよぶ。 容易にわかるように、 環のあいだの同型 $f:R\to S$ が与えられたとき、 $f$ の逆写像 $f^{-1}$ は $S$ から $R$ への 同型になる。

群(加法群)についての準同型の知識を使うと、次のことは直ちにわかる。

補題 6.3   環準同型 $f:R\to S$ について、

1. $f(0_R)=0_S$ が成り立つ。
2. $f(-a)=-f(a)$ が全ての $a\in R$ に対して成り立つ。

定義 6.4   環準同型 $f:R\to S$ について、 $f^{-1}(0)(=\{r\in R; f(r)=0\})$ のことを、 $f$ の核(Kernel)と呼び、 $\operatorname{Ker}(f)$ で書き表す。

$f$ の像(Image)とは、通常通り、

$$\operatorname{Image}(f)=\{f(r); r\in R\}$$

のことである。

補題 6.5   任意の環準同型 $f:R\to S$ にたいして、

1. $\operatorname{Ker}(f)$ は $R$ のイデアルである。
2. $\operatorname{Image}(f)$ は $S$ の部分環である。

環 $R$ 上の一変数多項式環 $R[X]$ とは、 $R$ の元と、一つの変数 $X$ とで生成される 環であった。同様に $R[X_1,X_2,\dots,X_n]$ を定義することができる。 その出自から当然、次の補題が成り立つ

補題 6.6   任意の環 $R$ について、 $R[X][Y]\cong R[X,Y]$ という自然な同型が存在する。 もっと一般に $R[X_1,X_2,\dots,X_n] \cong R[X_1,X_2,\dots,X_{n-1}][X_n]$ がなりたつ。

命題 6.7 (代入原理)   環 $S$ とその部分環 $R$ が与えられているとする。 このとき、任意の $S$ の元の$n$ 個の組 $s=(s_1,s_2,\dots,s_n)$ にたいして、 次のような環準同型 $\psi_s[X_1,X_2,\dots,X_n] \to S$ が 唯一つ存在する。

1. $\psi(r)=r \qquad(\forall r\in R),$
2. $\psi(X_j)=s_j\qquad (j=1,2,3,\dots,n).$

さらに、$\psi$ は次のような形で与えられる。

$$\psi(p)=p(s_1,s_2,\dots,s_n)$$

例 6.8   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]$ から ${\mathbb{C}}$ への写像 $f$ を、

$$f(p)=p(\sqrt{-1})$$

で定めると、次のことが分かる。

1. $f$ は写像としてうまく定義されている。
2. $f$ は環の準同型である。
3. $f$ の像は ${\mathbb{C}}$ 全体である。
4. $f$ の核は $(X^2+1)$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]$ である。