理工系線形代数学 No.10要約

今日のテーマ: ベクトル(2)

定義 10.1   ベクトル空間の元 $\mathbbm v_1 ,\ \mathbbm v_2, \ \dots , \ \mathbbm v_n$ が一次従属であるとは、非自明な1次の関係式

$$c_1\mathbbm v_1 +c_2 \mathbbm v_2+ \dots +, c_n \mathbbm v_n =0 \qquad(c_1,c_2,\dots c_n \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$)$$

を満たすときにいう。 $\mathbbm v_1 ,\ \mathbbm v_2, \ \dots , \ \mathbbm v_n$ が一次従属でない時、一次独立であるという。

定義 10.2   ベクトル空間 $V$ の元 $\mathbbm v_1 ,\ \mathbbm v_2, \ \dots , \ \mathbbm v_n$ が $V$ の基底であるとは、次の２つのことが成り立つときにいう。

1. $V$ の任意の元は $\mathbbm v_1 ,\ \mathbbm v_2, \ \dots , \ \mathbbm v_n$ の 線型結合で書ける。
2. $\mathbbm v_1 ,\ \mathbbm v_2, \ \dots , \ \mathbbm v_n$ は 一次独立である。

$n$ 個の元からなる基底が存在するようなベクトル空間を $n$次元ベクトル空間という。

$n$ 次元ベクトル空間 $V$ をとろう。定義により $V$ には $n$ 個の 元からなる基底 $\mathbbm v_1 ,\ \mathbbm v_2, \ \dots , \ \mathbbm v_n$ が存在する。 $V$ の元 $\mathbbm x$ は $c_1 \mathbbm v_1+ c_2\mathbbm v_2+ \dots +c_n\mathbbm v_n$ と 書くことができる。 $\mathbbm x$ に数ベクトル $[c_1,\dots,c_n]$ を対応させることで、$V$ を具体的な空間 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ と同一視できる。

補題 10.3   $n$ 次元計量ベクトル空間 $V$ については、次のような基底が存在する。 (正規直交基底)

$$v_i\cdot v_j = \delta_{ij}\quad ($$クロネッカーのデルタ$$)$$

この基底を採用すると、ベクトルの内積は数ベクトルの標準内積に 対応する。

一般の $n$ 次元ベクトル空間 $V$	$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$
基底 $\mathbbm u_1,\dots , \mathbbm u_n$	基本ベクトル $\mathbbm e_1,\dots , \mathbbm e_n$
$\mathbbm v=\sum_{i=1}^n c_n \mathbbm u_i$	$[c_1,c_2,\dots,c_n]$
内積	$[c_1,c_2,\dots,c_n]\cdot [c_1',\dots,c_n']=\sum_{i=1}^n c_i c_i'$

(3次元)空間のベクトル

3次元空間の直線の表現法。 $\{ t \mathbbm v + \mathbbm w; t \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\}$

成分で書く方法もある。

$$\frac{x-w_1}{v_1}=\frac{y-w_2}{v_2}=\frac{z-w_3}{v_3}.$$

3次元空間の平面の表現法。 $\{t \mathbbm a + u \mathbbm b +\mathbbm w; t, u \in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\}$

成分で書く方法もある。

$$c_1 (x-w_1)+c_2(y-w_2)+c_3(z-w_3)=0.$$

内積でかく手もある。

2次元平面での直線の書き方も上に準ずるのであった。

三次元計量ベクトル空間には「外積」という概念もある。 分野によっては大事であるのでここで定義を押さえておこう。

定義 10.4   3次元計量ベクトル空間 $V$には次のような性質をもつ「外積」が存在する。

1. 双線形性(2重線形性)
2. 反対称(交代的) $\mathbbm a \times \mathbbm b=$ $-\mathbbm b \times \mathbbm a$
3. $\mathbbm a \times \mathbbm b$ は $\mathbbm a$ や $\mathbbm b$ と 直交し、長さは２つのベクトルのつくる平行四辺形の面積 である。
4. (向き付けとの関係) 向き付との関係は大事であるが、 (xyz座標系をどのように描くかなど) 使用する時々によって若干違ってくる。ここでは、標準となる正規直交系 $\mathbbm e_1,\mathbbm e_2, \mathbbm e_3$ がすでに決まっていて、 $\mathbbm e_1 \times \mathbbm e_2 = \mathbbm e_3$ を満たしている、という形で述べるにとどめておく。