理工系線形代数学 No.9要約

今日のテーマ: ベクトル

実数直線も、 $W_0=\left\{ t \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}; t\in \mbox{${\mathbb{R}}$}\right\}$ も、「同じ形」をしている。 このような２つを同時に扱うのには、成分を見るのではなく、 和と、スカラー倍という道具のみを用いて記述することが 大事になる。例えば、成分がすべて 0 のベクトル (0 ベクトル) は $\mathbbm v + \mathbbm v =\mathbbm v$ の解と見ることもできる。

定義 9.1   $V$ が $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上のベクトル空間であるとは、 つぎの性質を満たしているときにいう。

1. (演算の存在) $V$ には、和と、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の元による定数倍が定義されている。
2. 1. $\forall \mathbbm x, \forall \mathbbm y, \forall \mathbbm z \in V$ にたいし、 $(\mathbbm x + \mathbbm y)+\mathbbm z= \mathbbm x+(\mathbbm y+\mathbbm z)$.
   2. $\exists \mathbbm o \in V$ があって、 $\forall x \in V$ にたいし、 $\mathbbm x+\mathbbm o=\mathbbm x, \quad \mathbbm o+\mathbbm x=\mathbbm o$ がなりたつ。
   3. $\forall \mathbbm x \in V$ に対して、 $\exists \mathbbm y\in V$ が存在して、 $\mathbbm x+\mathbbm y=\mathbbm o,\quad \mathbbm y+\mathbbm x=\mathbbm o$ が成り立つ。
   4. $\forall \mathbbm x,\mathbbm y\in V$ にたいして $\mathbbm x+\mathbbm y=\mathbbm y+\mathbbm x$ が成り立つ.
3. 1. $\forall c_1,c_2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall \mathbbm x \in V$ $(c_1 c_2)\mathbbm x = c_1.(c_2.\mathbbm x)$.
   2. $\forall \mathbbm x \in V$ $1.\mathbbm x=\mathbbm x$.
4. 1. $\forall c_1,c_2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall \mathbbm x \in V$ $(c_1+c_2) \mathbbm x=c_1 \mathbbm x +c_2\mathbbm x$
   2. $\forall c \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$, \forall \mathbbm x,\mathbbm y\in V$ $c(\mathbbm x+\mathbbm y) =c \mathbbm x + c\mathbbm y$.

定義 9.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上のベクトル空間 $V$ があるとする。 $V$ の2つの元 $\mathbbm v_1,\mathbbm v_2$ に対して、 内積と呼ばれる実数 $\mathbbm v_1\cdot \mathbbm v_2$ が定義されて、次の性質をみたすとき、$V$ のことを計量ベクトル空間と呼ぶ。

1. 多重線形性: $(c_1\mathbbm v_1 +c_2 \mathbbm v_2)\cdot \mathbbm w =c_1 (\mathbbm v_1\cdot \mathbbm w) +c_2 (\mathbbm v_2\cdot \mathbbm w)$ ( $\forall c_1,c_2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$, \forall \mathbbm v_1, \mathbbm v_2, \mathbbm w\in V)$
2. 対称性: $\mathbbm v\cdot \mathbbm w= \mathbbm w \cdot \mathbbm v$. ( $\forall \mathbbm v,\mathbbm w \in V$)
3. 正定値性: $\mathbbm v\cdot \mathbbm v\geq 0$ ( $\forall \mathbbm v \in V$). 等号は $\mathbbm v=\mathbbm o$ のときのみ。

計量ベクトル空間の元 $\mathbbm u$ にたいして、 $\sqrt{\mathbbm u\cdot \mathbbm u}$ のことを $\mathbbm u$ の長さといい、 $\vert\mathbbm u\vert$ とかく。

補題 9.3   計量ベクトル空間の元 $\mathbbm u,\mathbbm v$ に対して、次が成り立つ。

1. $\vert\mathbbm u+\mathbbm v\vert \leq \vert\mathbbm u\vert+\vert\mathbbm v\vert$.
2. $\vert(\mathbbm u\cdot \mathbbm v)\vert \leq \vert\mathbbm u\vert \vert\mathbbm v\vert$. とくに $\cos(\theta)= \dfrac{\mathbbm u \cdot \mathbbm v}{\vert\mathbbm u \vert\vert\mathbbm v\vert}$ なる $\theta$ が存在する。これを $\mathbbm u$ と $\mathbbm v$ のなす角と呼ぶ。

定義 9.4   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上のベクトル空間が $2$ 次元であるとは、 $V$ に２つの元 $\mathbbm u,\mathbbm v$ が存在して、次の性質を持つときにいう。

1. $V$ のどの元も $\mathbbm u,\mathbbm v$ の線型結合で書ける。
2. $\mathbbm u \neq \mathbbm o$.
3. $\mathbbm v= c \mathbbm u$ を満たすような実数 $c$ は存在しない。

(このとき $\mathbbm u,\mathbbm v$ は $V$ の基底であるという。)

上の(2),(3) は 「 $c_1 \mathbbm u + c_2 \mathbbm v=\mathbbm o$ を満たす実数の組 $(c_1,c_2)$ は $(0,0)$ 以外には存在しない」というのと同じである。 この条件が満足されるとき、「 $\mathbbm u,\mathbbm v$ は一次独立である」という。

補題 9.5   二次元計量ベクトル空間 $V$ については、次のような基底が存在する。 (正規直交基底)

$$\vert\mathbbm u \vert= 1,\quad \vert\mathbbm v\vert=1, \quad \mathbbm u \cdot \mathbbm v=0.$$