理工系線形代数学 No.4要約

今日のテーマ:連立方程式の解法と行基本操作

階段行列 $C$ とは、次のような行列である。

• $C$ の上から $r$ 行までは
  • 各行は 0 が続き、そのあと $1$ で始まる$^*$。
  • 各行の $1$ で始まる位置は、下段に行くほど右である。
• $C$ のその後の行はずっと 0 がならぶ。

$r$ のことを階段行列 $C$ の 階数と呼ぶ。

↑階段行列のイメージ。白い部分はすべて成分が0. グレーの部分は先頭が $1$ で始まる$^*$. そのあとは 0 を含めなんでもよい。ひっくり返すと階段っぽい(?) なお、 *のところ、教科書では、$1$ ではなく、「0 以外の定数 」で始まると書いてある。 行基本変形が「行を定数倍すること」を含むため、本質的にはどちらでもよい。)

注意点を $2$ つほど書いておく:

• 最初の行は 0 から始まることも、$1$ から始まることもある。
• 各行の最初の $1$ の下は、必ず 0 である。(階段の先頭が揃うことはない。)

$A$ を行基本変形して階段行列 $C$ に直すことができる。

$C$ の取り方、直し方はいろいろあるが、 $C$ の階数は $A$ にしか依らない。 これを $A$ の階数と呼び、 $\operatorname{rank}(A)$ で書き表す。

$A \mathbbm x=\mathbbm b$ において、$A$ のことを係数行列、 $[A\ \mathbbm b]$ のことを拡大係数行列とよぶ。

階数を用いると、連立 $1$ 次方程式の解法は次のように整理できる。

定理 4.1   $(m,n)$-行列 $A$ と $(m,1)$-行列 $\mathbbm b$ ($m$次元列ベクトル)が与えられているとする。 $A \mathbbm x=\mathbbm b$ が解を持つ ${\Leftrightarrow}$ $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A\ \mathbbm b])$

さらに、解を持つときの解空間の次元は

$$n-\operatorname{rank}(A)$$

である。言い換えると、解はこれだけの「自由に動けるパラメータ」をもつ。