微分積分学概論AI要約 No.8

今回から、関数の話に話題の重点をうつす。

定義 8.1   集合 $D$ と $T$ とが与えられているとする。 集合 $D$ 上の各元 $x$ に対して、それに対応する元 $f(x)\in T$ が (誰が見てもはっきりと) 与えられているとき、$f$ を $D$ から $T$ への写像(もしくは関数) とよぶ。

関数と写像は同じものであるが、関数という言葉は $T$ が数の集合の部分集合の時に言うことが多い。

これから、 「$a$ の近くで定義されている(実数値)関数 $f$ 」 という言い方をもちいることがある。これは、 次の二つの状況が同時に満足されていることを 言い表す言葉である。

1. $f$ は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ のある部分集合 $S$ 上定義されている関数 ( $f: S\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$)である。
2. $S$ は $a$ を含むある開区間 $I$ を部分集合として含む

定義 8.2 ( “p.18 定義2.25” )  

$f$ は実数 $a$ の近くで定義された関数であるとする。このとき、 $x$ が $a$ に近づくときの $f(x)$ の極限値 は $b$ である (「$x\to a$ のとき $f$ は $b$に収束する」とも言う) とは、

$$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; ( 0<\vert x-a\vert<\delta \ \implies \ \vert f(x)-b\vert<\epsilon)$$

が満たされるときに言う。

($x\to a$ の過程において、「$x=a$ を許さない」というのが 一つのポイントである。これは、

$$\lim_{x\to a}\frac{\sin(x)-\sin(a)}{x-a}=\cos(a)$$

のような不定形の極限を相手にすることが多いからである。 )

補題 8.3   上の定義の状況のもとで、関数 $f(x)$ の $x$ が $a$ に近づくときの極限値は 存在するとすれば唯一つである。

定義 8.4   $f(x)$ の $x\to a$ の極限を(それがもし存在すれば、)

$$\lim_{x\to a} f(x)$$

とかく。

定理 8.5   極限 $\lim_{x\to a} f(x)$ と $\lim_{x\to a} g(x)$ がともに 存在すると仮定する。このとき、次のことが成り立つ。

1. $$\lim_{x\to a} (f(x) \pm g(x)) =\lim_{x\to a} f(x) \pm \lim_{x\to a} g(x).$$
2. $$\lim_{x\to a} c f(x)= c \lim_{x\to a} f(x)$$.
3. $$\lim_{x\to a} (f(x) g(x)) =\left(\lim_{x \to a} f(x)\right) \left( \lim_{x\to a} g(x) \right).$$
4. さらに、 $\lim_{x\to a} f(x) \neq 0$ と仮定すると、
   $$\lim_{x\to a} (g(x)/ f(x)) =\left(\lim_{x\to a} g(x)\right)/ \left( \lim_{x\to a} f(x) \right).$$

問題 8.1   $f(x)=x^2 +5 x +7$ とおく。このとき $\lim_{x\to 3}f(x)=31$ であることを 定義に基づいて(定理8.5を用いずに)証明しなさい。