線形代数学II No.10要約

今日のテーマ: 行列の三角化。

今回も引き続き、行列は複素数体 ${\mathbb{C}}$ 上で考える。

定理 10.1   $n$ 次正方行列 $A$ は常に三角化可能である。 すなわち、ある上半三角行列と相似である。

定義 10.2   ${\mathbb{C}}$ 係数の $n$-次正方行列 $A$ と 一変数多項式 $f(x)$ に対して、 $f(A)$ を次のように定義する:

$$f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$

にたいして、

$$f(A)=a_n A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \dots+ a_1 A + a_0 E_n.$$

系 10.1 (定理10.1 の系:Cayley-Hamilton)   行列 $A$ の固有多項式 $f_A$ を考える。 $f_A$ に行列 $A$ を代入したもの $f_A(A)$ は ゼロ行列に等しい。

定理の証明には次のことを用いる。

補題 10.3   正方行列 $A_1,A_2$ が相似、すなわちある正則行列 $P$ が存在して $A_1= P A_2 P^{-1}$ であるとき、 $f(A_1)= P f(A_2) P^{-1}.$

補題 10.4   $n\times n$-行列 $A$ が、 $(n-1)\times (n-1)$-行列 $B$ と定数 $\lambda$ を 用いて、 $A= \begin{pmatrix} \lambda & * \\ 0 & B \end{pmatrix}$ と表せているとき、

1. $A^n= \begin{pmatrix} \lambda^n & * \\ 0 & B^n \end{pmatrix}$
2. もっと一般に、任意の一変数多項式 $f(x)$ に対して、
   $$f(A)= \begin{pmatrix} f(\lambda) & * \\ 0 & f(B) \end{pmatrix}$$

注意 10.1   補題 は $\lambda$ のところが数ではなく、行列であっても (つまり、ある $k\in \{1,2,\dots, n-1\}$ にたいして $\lambda$ が $k\times k$-行列、$B$ が $(n-k)\times (n-k)$ 行列 であっても)同様に成り立つ。