線形代数学II No.5要約

今日のテーマ: 直交射影を表す行列

まずは復習から: 計量ベクトル空間 $V$ において、

一次独立なベクトルたち $\v _1, \v _2,\v _3\dots,$ が与えられているとする。これらは「三角変換」(補題3.2のような「三角行列」で書けるような変換) で直交系に直せた。
1. $\v _1$ をそのまま $\w _1$ とおく。
2. $\v _2$ を $\v _1$ の方向に歪めて $\w _2=* \v _1+ \v _2$ の形で $\v _1$ と直交なベクトル $\w _2$ を見つける。
3. $\v _3$ を $\v _1,\v _2$ の張るベクトル空間の適当な方向に歪めて, $\w _3=* \v _1+ *\v _2+\v _3$ の形で $\v _1,\v _2$ と直交なベクトル $\w _3$ を見つける。
4. 同様の操作を繰り返す。
さらに、 $\w _1,\w _2,\w _3...$ をおのおのの長さで割ることにより、正規直交系を得ることができる。

これがシュミットの直交化法であった。 $\v _1,\dots,\v _n$ を $\w _1,\dots,\w _n$ で表す行列 $Q$

は三角行列である。定理 3.3) すなわち、三角行列 $Q$

を用いて、

$\displaystyle (\w _1 \ \w _2 \ \cdots \ \w _n)= (\v _1 \ \v _2 \ \cdots \ \v _n)Q$

と書くことができる。 (なお、定理3.3 で書かれるものも3.4 で書かれるものも「三角行列」と呼ばれ、区別のためには前者を「狭義三角行列」とよんだりする。)

さて、上の議論でとくに $V$ が有限次元で、 $\{\v _i\}_{i=1}^n$ が $V$ の基底である時を考えよう。 $A=(\v _i \bullet \v _j)_{i,j}$ を考えて、 $\w _i$ として正規直交化したあとのものを採用すると、 $\v _*$ , $\w _*$ は広義三角行列 $Q$ で結ばれて、内積の関係により、 ${}^tQ A Q=E$ . つまり正規直交基底 $\w _*$ による座標系を採用すれば、の内積は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の標準的な内積と一致する。

つまり抽象的な内積の定義から始めた抽象的な計量ベクトル空間は、有限次元ならばかならず $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ $^n$ に標準的な内積を入れたものと同じになる。

$V$ が計量ベクトル空間、 $U$ がその有限次部分ベクトル空間のとき、 $\u _1,\dots,\u _k$ を $U$ の正規直交基底に採ると、 $P\w =\w _{U}=(\sum_{i=1}^k (\w ,\u _i) \u _i)$ は $U$ の元であって、 $\w ^\perp=\w -P\w$ は $U^\perp$ の元、 $\w =\w _U+ \w _{U^\perp}$ と分解できるのであった。 $P$ は $U$ への直交射影と呼ばれる。

次のことが問題である:

直交射影はどのような行列か?
逆にどのような行列は直交射影になりうるのか?

それを語るのに、座標の付け替えの議論もする。ここで出てくるのが直交行列である。

以下では、標準的な内積を用いる。

補題 5.1 $n\times r$ 行列に対して、 ${}^t T T=E_r$ ${\Leftrightarrow}$ の列ベクトルは正規直交系。

正方行列 $T$ に対して、 $T$ の列ベクトルが正規直交系をなすとき、 $T$ を直交行列と呼ぶ。

補題 5.2 次正方行列に対して、次は同値である。

は直交行列
${}^t T T=E_n$
$T {}^t T=E_n$

補題 5.3 $n\times n$ 行列に対して次は同値である。

行列はある次元部分ベクトル空間 $U\subset$ $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ への直交射影に等しい。
ある次元部分ベクトル空間 $U\subset$ $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ のある正規直交基底を列ベクトルとして並べた $n\times r$ 行列にたいして、 $A=T {}^t T$ , ${}^t T T=E_r$ .
ある $n\times r$ 行列が存在して $A=T {}^t T$ , ${}^t T T=E_r$
$A^2=A, {}^t A=A$ .