線形代数学II No.3要約

今日のテーマ: 直交基底。正規直交基底

定義 3.1   内積を持つベクトル空間を 計量ベクトル空間 と呼ぶのであった。 計量ベクトル空間 $V$ の $\pmb 0$ でない元の集合 $\{ \mathbbm v_i\}_{i=1}^n$ が

1. 直交系であるとは、すべての $i \neq j$ にたいし、 $\mathbbm v_i \cdot \mathbbm v_j=0$ を満たすときにいう。
2. 正規直交系であるとは、 直交系であって、すべての $i$ に対し $\vert\vert\mathbbm v_i \vert\vert=1$ のときにいう。

補題 3.2   $\mathbbm a_1,\dots \mathbbm a_k$ が一次独立のとき、次のような 直交系 $\mathbbm b_1,\dots \mathbbm b_k$ が一意に存在する。

$$(\mathbbm a_1,\dots \mathbbm a_k) = (\mathbbm b_1,\dots \mathbbm ... ... \begin{pmatrix} 1 & & & * \\ & 1 \\ & & \ddots \\ 0 & & & 1 \end{pmatrix}$$

定理 3.3   $\mathbbm a_1,\dots \mathbbm a_k$ が一次独立のとき、次のような 正規直交系 $\mathbbm u_1,\dots \mathbbm u_k$ が一意に存在する。

$$(\mathbbm a_1,\dots \mathbbm a_k) = (\mathbbm u_1,\dots \mathbbm ... ...n{pmatrix} c_1 & & & * \\ & c_2 \\ & & \ddots \\ 0 & & & c_k \end{pmatrix}$$

$(c_1c_2\dots c_k \neq 0.)$

(この $\mathbbm u_1,\dots \mathbbm u_k$ を得るための操作を シュミットの直交化法という。)

定理 3.4   有限次元計量ベクトル空間 $V$ では

1. 正規直交基底が存在する。
2. 任意の正規直交系は正規直交基底に延長できる。
3. 任意の直交系は直交基底に延長できる。