環論 No.12要約

《素元分解環》(2)

素元の定義

$$p \overset{\operatorname{def}}{{\Leftrightarrow}} p\neq 0 (p) R$$

$${\Leftrightarrow}p\neq 0 (\forall a\in R \forall b \in R \ (p\vert ab \implies ( p\vert a\ \operatorname{ or }\ p\vert b) ))$$

「$ab$ が $p$ で割れるなら $a$ と $b$ のどちらかは $p$ で割れる。」

参照:整域の定義(零因子を 0 以外にもたない)

「$ab$ が 0 と等しいなら $a$ と $b$ のどちらかは 0 である。」

既約元の定義

$$p \overset{\operatorname{def}}{{\Leftrightarrow}} (\forall y\in R \forall z \in R (yz=x \implies (y\in R^\times z \in R^\times)))$$

「分解できない」(分解できたとしたら片方が可逆元)

命題 12.1   $R$ が素元分解環ならば、 $R\setminus \{0\}$ の各元は

$$u p_1 p_2 \dots p_l \qquad(l \in \mathbb{N}, u\in R^\times , p_1,\dots,p_l$$    は $R$ の素元$$)$$

と書くことができるが、この書き方は並び方と同伴を除いて一意的である。 すなわち、

$$u p_1 p_2 \dots p_l =v q_1q_2 \dots q_m$$

$$(l,m \in \mathbb{N}, u,v\in R^\times , p_1,\dots,p_l,q_1,\dots,q_m R )$$

ならば、$l=m$ であって、なおかつある置換 $\sigma\in \mathfrak{S}_l$ があって 各 $j$ にたいして $p_j$ と $q_{\sigma(j)}$ はそれぞれ同伴になる。

問題 12.1   整域 $R$ の元 $a,b$ の最大公約元が2つあったとすれば、 それらは互いに同伴であることを証明せよ。

• ED: Euclidean domain
• PID: principal ideal domain
• UFD: unique factorization domain 直訳は「一意分解整域」。