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環論 No.3要約

今日のテーマ:

定義 3.1   $R$ は単位元をもつ環であるとし、$I$ はその部分集合であるとする。 $I$ が $R$ のイデアルであるとは、 次の条件が成り立つ ときにいう。

1. $I$ は $(R,+)$ の部分群である。 すなわち、$I$ は $R$ の加・減法について閉じている。
2. $I$ の元に $R$ の元を右から掛けても左から掛けてもやっぱり $I$ の元になる。 すなわち、 任意の $x \in I$ と任意の $r\in R$ について、
   $$rx\in I , xr \in I$$
   が成り立つ。

例 3.1 (イデアルの例)  

1. $10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルである。
2. もっと一般に、$n>0$ にたいして、 $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルである。
3. 更に一般に、任意の可換環 $R$ と 任意の $a\in R$ にたいして、 $a R$ は $R$ のイデアルである。
4. 任意の環 $R$ に対して、 $\{0\}$ は $R$ のイデアルである。

「生成される部分環」を扱った時と同じ議論で、次のことが成り立つことがわかる。

補題 3.1   環 $R$ の部分集合 $S$ が与えられているとする。このとき、$S$ を 含む $R$ のイデアルのうち、最小のものが存在する。 (これを $S$ で生成される $R$ のイデアルといい、 $\langle S \rangle_{R\text{-イデアル}}$ とか、 $(S)$ と 書く。)

例 3.2   環 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルとして、次のことが成り立つ。

1. $(2)=2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$.
2. $(10)=10 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$.
3. $(12,18)=6 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$.
4. $(10,24)=2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$.

例 3.3   環 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のイデアルとして、次のことが成り立つ。

1. $(2)=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$.
2. $(10)=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$.
3. $(12,18)=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$.
4. 上の例に限らず全ての $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のイデアルは $\{0\}$ か $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 自身である。

上の２つの例を比較すると分かるように、どの環で考えるかが大変重要である。

問題 3.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $I$ が $4615$ と $1469$ を元として含むとき、 $13$ も $I$ の元であることを示しなさい。