線形代数学II No.11要約

今日のテーマ: 弱固有空間による分解

今回も引き続き、行列は複素数体 ${\mathbb{C}}$ 上で考える。

定義 11.1   行列 $A\in M_n({\mathbb{C}})$ が与えられているとする。 $\lambda\in {\mathbb{C}}$ に対して

$$V_{\lambda}=\{\mathbbm v \in {\mathbb{C}}^n\vert \exists N >0$$ such that $$(A-\lambda E_n) ^N \mathbbm v={\pmb 0} \}$$

のことを $A$ の $\lambda$ に属する弱固有空間 ($\lambda$-弱固有空間)と呼ぶ。

補題 11.2  

1. $A$ の $\lambda$-弱固有空間が $\{0\}$ ではないなら、 $\lambda$ は $A$ の固有値である。
2. $\lambda_1\neq \lambda_2$ ならば $V_{\lambda_1} \cap V_{\lambda_2}=\{0\}$.

定理 11.3   $n$ 次正方行列 $A$ が与えらているとする。 このとき、 ${\mathbb{C}}^n$ は $A$ の弱固有空間の直和に分解される。 すなわち、

$${\mathbb{C}}^n= \bigoplus_{\lambda} V_{\lambda}$$

定義 11.4   ${\mathbb{C}}[X]$ で、$X$ を変数とする 一変数複素係数多項式の全体の集合を表すことにする。

つぎの事実を用いる。これは「環論」で話題になることの一つ(ユークリッドの互除法) であるが、 ここでは間に合わせ的な証明をつけておく。

補題 11.5   $q(X)\in {\mathbb{C}}[X]$ が与えられていて、 $q(\lambda)\neq 0$ をみたすとする。このとき、 任意の正の整数 $N$ に対して、

$$a_N(X)\cdot (X-\lambda)^N + b_N(X) q(X)=1$$

をみたす多項式 $a_N(X),b_N(X)\in {\mathbb{C}}[X]$ が存在する。

証明. $N=1$ のとき:$q(X)$ を $(X-\lambda)$ で割った商を $\alpha(X)$, 余りを $r$ と置くと、 $r=q(\lambda)$ であり(剰余の定理)、

$$-\frac{\alpha(X)}{q(\lambda)}(X-\lambda)+ \frac{1}{q(\lambda)}q(X)=1.$$

これは $N=1$ の場合にあたる。 両辺の $N$ 乗を整理することで一般の場合を得る。 $\qedsymbol$

系 11.1   $A$ に対して、その固有多項式 $f_A(X)$ をとり、その根の一つ(=$A$ の固有値の一つ) $\lambda$ をとる。$f_A$ を(部分的に)因数分解して

$$f_A(X)=(X-\lambda E_n)^k q(X) \qquad (q(\lambda)\neq 0)$$

と書こう。補題により

$$a(X)\cdot (X-\lambda)^k + b (X) q(X)=1$$

を満たす $a,b \in {\mathbb{C}}[X]$ が存在する。このとき:

1. $P=a(A) (A-\lambda E_n)^k$ , $Q=b(A) q(A)$ とおくと、 $P+Q=E_n,\quad PQ=0$ を満たす。
2. $P$, $Q$ はともにべき等であり、 $\operatorname{Image}Q$ 上では $(A-\lambda E_n)$ は べき零である。
3. $\forall \v\in V_\lambda$ に対して、$Q \v =\v$.
4. $\operatorname{Image}Q= V_\lambda$.