環論 No.7要約

《環の準同型定理》 環 $R$ から $S$ への準同型 $f$ が与えられたとき、 写像に関する一般論から $f$ による $R$ のクラス分けができる。 それは $\operatorname{Ker}(f)$ による $R$ のクラス分けと一致する。

定理 7.1   環準同型 $f:R\to S$ について、 $R$ の同値関係 $\sim_f$ を

$$x \sim_f y \quad {\Leftrightarrow}\quad f(x)=f(y)$$

で定義し、また $r\in R$ の $R/\operatorname{Ker}(f)$ でのクラスを $\bar{r}$ とすると、 次のことが成り立つ。

1. $x,y\in R$ にたいして、
   $$x \sim_f y \quad {\Leftrightarrow}\quad \bar{x}=\bar{y}$$
   が成り立つ
2. $f$ は
   $$\bar{f}:R/\operatorname{Ker}(f) \ni \bar{r} \mapsto f(r)\in \operatorname{Image}(f) \qquad (r\in R)$$
   なる同型を誘導する。

代数では群、加群、環、Lie 環など、いろいろなモノについて それぞれ「準同型定理」がなりたつが、それはすべて次の 単純な事実に基づく:

「値による分類」

写像 $f: X\to Y$ が与えられたとき、 $f$ の行き先でわけることによって $X$ の元の分類(クラスわけ)ができる。

さらに、

Kernel の重要性

$f$ が環の準同型の場合には、$f$ の値による分類は「差が $\operatorname{Ker}(f)$ に入るかどうかの 分類」と同じことである。

(環や加群の準同型では、「差」は $a-b$ で決まるものであるが、 群の場合には、$ab^{-1}$ で与える。)

問題 7.1  

環準同型 $f: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X] \to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が与えられていて、$f(X)=3$ だと 分かっているとする。 このとき、

1. 多項式 $X^2+3X+5 \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の $f$ による像を具体的に求めなさい。
2. $\operatorname{Ker}(f)$ の元で、 0 と異なるものを具体的に3つあげなさい。