代数学III要約 No.8補足

補題8.2 の証明。

補題 8.2

$K$ の代数拡大体 $L=K(\alpha_1,\dots, \alpha_t)$ が与えられたとする。 $\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_t$ のすべての $K$ 上の共役が $L$ 内に存在するならば(すなわち、それらの最小多項式がすべて $L$ 上では 一次式の積に分解されるならば)、 $L$ は $K$ の正規拡大である。

[証明]

$K$ 上の $\alpha_1,\dots, \alpha_t$ の最小多項式を それぞれ $f_1,\dots, f_t$ とおく。 $f=f_1f_2\dots f_t$ とおくと、 $L$ は $f$ の最小分解体である。 $L$ の元 $c$ を一つ取ってきて、その $K$ 上の共役 $c'$ を考える。 $L(c')$ の適当な拡大体 $\Omega$ を取れば、 体の中への同型 $\varphi:K(c) \to \Omega$ で、 $\varphi(c)=c'$ を満たすものが 存在し、(必要なら $\Omega$ をさらに十分大きなもので取り替えて、) $\varphi$ は 体の中への同型 $\psi:L \to \Omega$ に拡張できる。 $L$, $\psi(L)$ はともに $\Omega$ の部分体で、$f$ の最小分解体であるから、 $L=\psi(L)$. 特に $L$ は $\psi(c)(=\varphi(c))=c'$ を元として含む。