体論要約 No.7

今日のテーマ:体の同型を数える。

体 $K$ 上の分離代数的な元 $\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_s$ に対して、 $L=K(\alpha_1,\dots ,\alpha_s)$ の元 $\gamma$ が存在して、 $L=K(\gamma)$ とできるのであった。 この $\gamma$ は $K$ 上分離的に取れる。

体 $K$ の拡大体 $M$ と $\Omega$ とがあるとき、 $M$ から $\Omega$ への $K$-同型 の数を数えることにより、$M$ の性質がある程度分かる。本日はそんな話。

定義 7.1   $M$ から $\Omega$ への $K$-同型(環としての準同型で、 $K$ 上では恒等写像と等しいもの)の全体の集合を

$$\operatorname{Hom}_K^{{\operatorname{alg}}}(M,\Omega)$$

と書く。

まず $M$ が $K$ の単純拡大のときから 考えてみよう。

補題 7.2   体 $K$ 上の代数的数 $\alpha$ の最小多項式を $m(X)$ とおく。 $K$ の拡大体 $\Omega$ にたいして、 $\Omega$ 内の $m$ の根を、重複を許さずに(つまり重複を取り除いて)ならべたものを $\gamma_1,\dots, \gamma_s$ とすると、$K(\alpha)$ から $\Omega$ への $K$-同型はちょうど $s$ 個存在する。 とくに、 $s\leq [K(\alpha):K]$で、等号は次の二つの条件がともに成り立つとき、 そしてそのときに限りなりたつ。

1. $\alpha$ は $K$ 上分離的である。
2. $\Omega$ は $m$ の分解体である。

上の補題は、 $\Omega$ が十分大きいときには $\operatorname{Hom}_K^{\operatorname{alg}}(M,\Omega)$ の 元の数が分離性の判定に使えることを示唆している。 上の補題を何度も用いることにより、次のことが証明できる。

命題 7.3   $K$ 上代数的な元 $\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_t$ と $K$ の拡大体 $\Omega$ について、 $M=K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_t)$ と書くと、

$$\operatorname{Hom}_K^{\operatorname{alg}}(M,\Omega)\leq [M:K].$$

$\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_t$ がすべて $K$ 上分離的で、 $\Omega$ が それらの最小多項式すべての分解体ならば、等号が成り立つ。

ちょっとトリッキーだが、次のことにも注意しておこう。

補題 7.4   $K$ の拡大体 $M$ のどれかひとつの元 $\alpha$ が $K$ 上非分離的であるならば、

$$\operatorname{Hom}_K^{\operatorname{alg}}(M,\Omega)< [M:K].$$

証明は $K(\alpha)$ で一旦途中下車することにより得られる。次の系は 分離性の判定が生成元だけで済むことを示しており、大切である。

系 7.5   $K$ 上代数的な元 $\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_t$ が $K$ 上分離的ならば $M=K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_t)$ の元は すべて分離的である。

「大きな体」$\Omega$ に頼ってばかりいると面倒である。 これを排除するために(もちろん他の理由もあるが次のようなものを考える。

定義 7.6   $K$ 上の代数拡大体 $L$ が $K$ 上正規拡大であるとは、 $L$ の任意の元の任意の共役が $L$ に属するときにいう。 言い換えると、これは $L$ の各元の $K$ 上の最小多項式が必ず $L$ 上で 一次式の積に分解されるということである。

定義 7.7   体 $K$ の分離的でかつ正規な代数拡大をガロア拡大と呼ぶ。

体 $K$ のガロア拡大 $M$ が与えられたとすると、 上で $\Omega$ として使っていたものの代わりに $M$ 自身を使えることが わかる。

問題 7.1   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{7})$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の正規拡大であることを定義に従って確認しなさい。