線形代数学II No.5要約

今日のテーマ: 直交射影を表す行列

まずは復習から: 計量ベクトル空間 $V$ において、

1. 一次独立なベクトルたち $\v _1, \v _2,\v _3\dots,$ が与えられているとする。 これらは「三角変換」(補題3.2のような「三角行列」で書けるような変換) で直交系に直せた。
   1. $\v _1$ を そのまま $\mathbbm w_1$ とおく。
   2. $\v _2$ を $\v _1$ の方向に歪めて $\mathbbm w_2=* \v _1+ \v _2$ の形で $\v _1$ と直交なベクトル $\mathbbm w_2$ を 見つける。
   3. $\v _3$ を $\v _1,\v _2$ の張るベクトル空間の適当な方向に歪めて, $\mathbbm w_3=* \v _1+ *\v _2+\v _3$ の形で $\v _1,\v _2$ と直交なベクトル $\mathbbm w_3$ を 見つける。
   4. 同様の操作を繰り返す。

2. さらに、 $\mathbbm w_1,\mathbbm w_2,\mathbbm w_3...$ をおのおのの長さで割ることにより、正規直交系を得ることができる。

これがシュミットの直交化法であった。 $\v _1,\dots,\v _n$ を $\mathbbm w_1,\dots,\mathbbm w_n$ で表す行列 $Q$ は三角行列である。定理 3.3) すなわち、三角行列 $Q$ を用いて、

$$(\mathbbm w_1 \ \mathbbm w_2 \ \cdots \ \mathbbm w_n)= (\v _1 \ \v _2 \ \cdots \ \v _n)Q$$

と書くことができる。 (なお、定理3.3 で書かれるものも3.4 で書かれるものも「三角行列」と呼ばれ、 区別のためには前者を「狭義三角行列」とよんだりする。) $A=(\v _i \bullet \v _j)_{i,j}$ を考えて、 $\mathbbm w_i$ として正規直交化したあとのものを採用すると、 $\v _*$, $\mathbbm w_*$ は広義三角行列 $Q$ で結ばれて、内積の関係により、 ${}^tQ A Q=E$. 別の言い方をすると、正規直交基底 $\mathbbm w_*$ による座標系を採用すれば、 $V$ の内積は標準的な内積と一致する。

$V$ が計量ベクトル空間、$U$ が有限次ベクトル空間のとき、 $\u _1,\dots,\u _k$ を $U$ の正規直交基底に採ると、 $P\mathbbm w=\mathbbm w^!=(\sum_{i=1}^k (\mathbbm w,\u _i) \u _i)$ は $U$ の元であって、 $\mathbbm w^\perp=\mathbbm w-P\mathbbm w$ は$U^\perp$ の元、 $\mathbbm w=\mathbbm w^!+ \mathbbm w^\perp$ と分解できるのであった。$P$ は $U$ への直交射影と呼ばれる。

以下では、標準的な内積を用いる。

補題 5.1   $n\times r$ 行列 $T$ に対して、 ${}^t T T=E_r$ ${\Leftrightarrow}$ $T$ の列ベクトルは正規直交系。

正方行列 $T$ に対して、 $T$ の列ベクトルが正規直交系をなすとき、 $T$ を直交行列と呼ぶ。

補題 5.2   $n$ 次正方行列 $T$ に対して、次は同値である。

1. $T$ は直交行列
2. ${}^t T T=E_n$
3. $T {}^t T=E_n$

補題 5.3   $n\times n$ 行列 $A$ に対して次は同値である。

1. 行列 $A$ はある $r$ 次元部分ベクトル空間 $U\subset$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ への直交射影に等しい。
2. ある $r$ 次元部分ベクトル空間 $U\subset$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の ある正規直交基底を列ベクトルとして並べた $n\times r$ 行列 $T$ にたいして、 $A=T {}^t T$, ${}^t T T=E_r$.
3. ある $n\times r$ 行列 $T$ が存在して $A=T {}^t T$, ${}^t T T=E_r$
4. $A^2=A, {}^t A=A$.

前回までの「やってみよう問題」から:

ある計量ベクトル空間 $V$ のベクトル $(\mathbbm v_1, \mathbbm v_2, \mathbbm v_3)$ が、

$$(\mathbbm v_i \cdot \mathbbm v_j)_{ij}=B= \begin{pmatrix} 2 & -4 & 6 \\ -4 & 11 & -9 \\ 6 & -9 & 25 \end{pmatrix}$$

を満たしているとする。

1. $a_1 \mathbbm v_1 + a_2 \mathbbm v_2 + a_3\mathbbm v_3$ と $b_1 \mathbbm v_1 + b_2 \mathbbm v_2 + b_3\mathbbm v_3$ の 内積は
   $$(a_1 \ a_2 \ a_3) B \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$$
   である。
2. $\mathbbm u_2= s \mathbbm v_1+ \mathbbm v_2$ とおくと、
   $$\mathbbm u_2 \perp \mathbbm v_1 \ {\Leftrightarrow}\ s=2$$

3. $\mathbbm u_3=t_1 \mathbbm v_1 +t_2 \mathbbm v_2+\mathbbm v_3$ とおくと、
   $$(\mathbbm u_3 \perp \mathbbm v_1$$    and $$\mathbbm u_3 \perp \mathbbm v_2 ) \ {\Leftrightarrow} (t_1,t_2)=(-5,-1)$$

4. $Q= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ とおくと、 ${}^t Q B Q$ は対角行列である。 実際、
   $${}^t Q B Q= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$

前回までのやってみよう問題では、上の $B$ の代わりに

$$A= \begin{pmatrix} 2 & -4 & 6 \\ -4 & 6 & -14 \\ 6 & -14 & 19 \end{pmatrix}$$

を使ってしまっていましたが、これでは

$${}^t Q B Q= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$

となって、内積の正値性が満たされないのでまずかったです。

$$(-5 \v _1 -\v _2+\v _3) \cdot (-5 \v _1 -\v _2+\v _3) =-2 <0$$

となってしまいます。 不備をお詫び申し上げます。

(ただし、本講義の本題からははずれますが、 このような「長さの二乗にあたるものが 負であるようなベクトルを考えに入れる必要のある系 (不定計量のベクトル空間)」も現代では相対論を始め色々なところで 出てくる興味深いものではあります。)