環論 No.14要約

《多項式環は素元分解環である》

定理 14.1   $R$ が素元分解環ならば $R[X]$ も素元分解環である。

上の定理の系として直ちにわかる次のことは大変基本的で、重要である。

系 14.2   素元分解環 $R$ 上の $n$ 変数多項式環 $R[X_1,X_2,\dots, X_n]$ は また素元分解環である。

補題 14.1   整域 $R$ が与えられているとき、集合

$$S_R=R\times (R\setminus\{0\})=\{(a,b); a\in R, b\in R, b\neq 0\}$$

に同値関係を

$$(a,b)\sim (c,d)\ {\Leftrightarrow}a d =b c$$

で定義する。 $(a,b)\in S_R$ のこの同値関係によるクラスを $a/b$ と書く。 $Q(R)=S_R/\sim$ に和、積を

$$a/b+ c/d=(ad+bc)/bd$$

$$a/b\cdot c/d=(ac)/(bd)$$

で定義すると、これらはうまく定義されて, $Q(R)$ は体になる。

定義 14.1   整域 $R$ にたいして上のように作られる環 $Q(R)$ を $R$ の商体と呼ぶ。

定理 14.1 の証明には、 $Q(R)[X]$ の素因数分解を利用して $R[X]$ の素因数分解をすることを考える。 そのために次の概念を用いよう。

定義 14.2   素元分解環 $R$ 上の一変数多項式 $f$ が 原始的であるとは、 $f$ の係数を全て集めたものの最大公約数が $1$ であるときにいう。

多項式の係数の「共通因数」をくくり出すことにより、次のことが言える。

補題 14.2   任意の $f\in R[X]$ は

$$f=a f_1 \qquad (a \in R,$$   $f_1&isin#in;R[X]$ は原始的$$)$$

と書くことができる。$a$ は同伴を除いて一意的である。

補題 14.3 (ガウス)   素元分解環 $R$ が与えられているとし、$K=Q(R)$ とおく。このとき

1. $R[X]$ の元 $f,g$ と $R$ の素元 $p$ とにたいして、
   $$fg\in p R[X] \ {\Leftrightarrow}\ \left(f \in p R[X] \text{ or }g \in p R[X]\right)$$

2. $R[X]$ の原始的な元の積は必ず原始的である。
3. $R[X]$ の原始的な元 $f$ について、 次のことは同値である。
   1. $f$ は $R[X]$ の素元である。
   2. $f$ は $R[X]$ の既約元である。
   3. $f$ は $K[X]$ の既約元である。
   4. $f$ は $K[X]$ の素元である。

証明. (1) $R[X]/pR[X]\cong (R/p)[X]$ であり(問題 14.2)、($R/p$ は 整域だから、$(R/p)[X]$ も整域。ゆえに $p R[X]$ は $R[X]$ の素イデアルである。

(2) は (1)からすぐに従う。

(3): (a) $\implies$ (b) は補題10.3の (1) から従う。 $K[X]$ はユークリッド整域であるから、一意分解環。ゆえに、 (c) ${\Leftrightarrow}$ (d) である。

(b) $\implies$ (c): $f$ は $R[X]$ の原始的既約元であるとする。 $f$ がもし $K[X]$ で既約でなければ、

$$c_1 f=c_2 g_1h_1$$

( $c_1,c_2\in R\setminus \{0\}$, $g_1,h_1\in R[X]$ は原始的かつ1次以上) なる $c_1,c_2,g_1,h_1$ が存在することが分かる。 $g_1 h_1$ は(2)により原始的であるから。$c_1$ と $c_2$ は同伴。 そのことから、

$$f=u g_1 h _1 (\exists u \in R^\times)$$

がわかる。これは $f$ が $R[X]$ の既約元であることに反する。

(d)$\implies$ (a): $f$ は $R[X]$ の原始的な元で、$K[X]$ の素元であるとする。 $gh \in f R[X]$ なる $g,h \in R[X]$ があるとすると、$K[X]$ のなかで 考えることにより

$$g \in f K[X]$$    or $$h \in f K[X]$$

がわかる。どちらでもおなじことであるから $g \in f K[X]$ としよう。 一般性を失うことなく、$g$ は原始的であると仮定してよい。 $g\in K[X]$ から

$$b_0 g =b_1 f m$$

なる $b_0,b_1\in R\setminus \{0\}$ と、 原始的な元 $m\in R[X]$ の存在が分かる。 再び (2)のより、$b_0$ と $b_1$ とは同伴であることを知る。したがって、 $g \in f R[X]$. $\qedsymbol$

問題 14.1   整域 $R$ にたいして、$Q(R)$ の和がうまく定義されることを実際に証明せよ。

問題 14.2   可換環 $R$ が与えられているとする。このとき、任意の $p \in R$ にたいして 環としての同型

$$R[X]/p R[X] \cong (R/pR)[X]$$

が存在することを示しなさい。

問題 14.3   ガウスの補題を用いて、$X^3-15$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上既約であることを証明せよ。 このことから、$\sqrt{15}$ は有理数でないことを結論せよ。