環論 No.11要約

    PID

単項イデアル環であるような整域を単項イデアル整域 (principal ideal domain, 略してPID)とよぶ。

補題 11.1   PID $R$ において、$R$ の元 $a,b$ をとる。 $(a,b)=d$ を満たす $d$ は $a,b$ の最大公約元である。

補題 11.2   PID $R$ の元 $a,b,c$ が $\gcd(a,b)=1$ かつ $a \vert bc$ を満たすならば、 $a\vert c$.

既約元の定義の際には、 「0 でも可逆でもない」という条件を付けておくべきであった。 (web 版では修正済み)

命題 11.1   PID $R$ においては、既約元は素元である。

定義 11.1 (10.5再掲)   整域 $R$ が素元分解環であるとは、$R$ の 任意の元 $x$ について、次のいずれかが成り立つときに言う。

1. $x$=0
2. $x\in R^\times$
3. $x$ は $R$ の素元の積に分解される。

補題 11.3   $R$ は整域であるとする。このとき、

1. $R$ の素元は、必ず既約である。
2. $R$ の既約元は、必ずしも素元とは限らない。
3. $R$ が素元分解環ならば、その既約元は必ず素元である。

(参考) ${\mathbb{C}}[X]$ の部分環 $R={\mathbb{C}}[X^2,X^3]$ を考えると、

$$R=\{f\in {\mathbb{C}}[X];$$    $f$ の $X$ に関する一次の項の係数は $0$$$\}$$

であることが分かる。ここで、 $a=X^2,b=X^4,c=X^3$ とおくと、$ab=c^2$ であるが、

1. $a$ は $R$ のなかで既約である
2. $a$ は $R$ のなかで $c$ の約数ではない。

ということが分かる。このように、単に「環」といってもこのような「特異な」環も 含まれるので、その元の取り扱いには通常の整数を取り扱う以上の注意が必要である。

$\bullet$ ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{5}]$ では 素因数分解は一意的でない。例えば

$$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=2 \cdot 2.$$

問題 11.1   素元分解環 $R$ の元 $a,b,m$ について、

$$\gcd(a,b)=\gcd(a,b+ma)$$

が成り立つことを示しなさい。

ヒント: $\gcd$ の定義

$$d \vert\gcd(a,b) \quad {\Leftrightarrow}\quad ( d \vert a$$    かつ $$d\vert b)$$

を有効に使うこと。

問題 11.2   $m,n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ において互いに素(すなわち、$m,n$ の最大公約数が $1$) ならば、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ の元としても互いに素であることを 証明せよ。

問題 11.3   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ が素元分解環であることを既知としてもちいて、 互いに素な $m,n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に対して ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ の元として

$$\gcd(m+n \sqrt{-1},m-n\sqrt{-1})=1$$

が成り立つことを示しなさい。