環論 No.10要約

    整域における整除の問題

定義 10.1   $R$ は環であるとする。$R$ の元のうち、 積に関して可逆なもの(可逆元)の全体を $R^\times$ であらわす。

$$R^\times =\{ x\in R ; \exists y \in R$$    に対して $$xy=yx=1$$   が成り立つ$$\}$$

例 10.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}^\times=\{\pm 1\}$, ${\mathbb{C}}^\times={\mathbb{C}}\setminus\{0\}$, ${\mathbb{C}}[X]^\times={\mathbb{C}}^\times$.

環論においては、元 $x$ の性質を調べる代わりに、$x$ の生成するイデアル $(x)$ を調べるとうまくいくことがある。以下の議論でも頻繁に使われるので 注意しておくとよい。 歴史的には、一般の環では元だけの扱いに限界があって、イデアルを導入すると うまくいくということに Dedekind が気付き、そこで展開されたイデアル論に 古典的な幾つかの議論が吸収されたのだ。

補題 10.1   可換環 $R$ の元 $x$ について、次は同値である。

1. $x \in R^\times$
2. $(x)=R$

定義 10.2   環 $R$ と $a,b\in R$ とにたいして、

1. $a \in b R$ のとき、 $a$ は $b$ の倍元であるといい、 $b\vert a$ で書き表す。$b$ を主語として、$b$ は $a$ の約元であるともいう。
2. ある $u \in R^\times$ があって、$a=bu$ をみたすとき、$a$ と $b$ とは 同伴であるという。

命題 10.1   整域 $R$ の元 $a,b$ にたいして、

1. $(a) \subset (b)\ {\Leftrightarrow}\ b\vert a$.
2. $a$ と $b$ が同伴 ${\Leftrightarrow}$ $(a)=(b)$.

定義 10.3   整域 $R$ が与えられているとする。$d_0\in R$ が $a,b\in R$ の 最大公約元($\gcd$) であるとは

$$\forall d \in R \left ( \ d \vert d_0 \quad {\Leftrightarrow}\quad ( d \vert a \text{ かつ }d\vert b) \ \right)$$

が成り立つときに言う。

定義 10.4   可換環 $R$ の元 $x$ が素元であるとは、 $(x)$ が $R$ の素イデアルであるときにいう。

定義 10.5   整域 $R$ が素元分解環であるとは、$R$ の 任意の元 $x$ について、次のいずれかが成り立つときに言う。

1. $x$=0
2. $x \in R^\times$
3. $x$ は $R$ の素元の積に分解される。

例えば、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , ${\mathbb{C}}[X]$ は素元分解環である。

定義 10.6   $R$ は可換環であるとする。$R$ の元 $x$ が既約であるとは、 $x$ が 0 でも可逆元でもなく、なおかつ

$$\forall y \forall z ( y,z\in R, yz=x \ \implies \ (y\in R^\times$$    または $$z \in R^\times))$$

をみたすときに言う。

補題 10.2   $R$ は整域であるとする。このとき、

1. $R$ の素元は、必ず既約である。
2. $R$ の既約元は、必ずしも素元とは限らない。

$\bullet$ ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{5}]$ では 素因数分解は一意的でない。例えば

$$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=2 \cdot 2.$$