1=4 1 by -1     

環論 No.4要約

剰余環

補題 4.1   $R$ が単位元をもつ環であるとし、$I$ をそのイデアルとする。 このとき、

1. $R$ に同値関係 $\sim$ が、次のようにして決まる。
   $$a\sim b \ {\Leftrightarrow}\ a-b \in I.$$

2. $R/\sim$ に、足し算を次のようにして入れる。
   $$\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b} \quad ($$$?$ は $?$ の $&sim#sim;$ に関する クラスを表す。$$)$$
   この足し算はうまく定義されていて、$R/\sim$ はこの足し算について可換群になる。
3. $R/\sim$ に、かけ算を次のようにして入れる。
   $$\bar{a}\cdot \bar{b}=\overline{a \cdot b}$$
   このかけ算はうまく定義されていて、$R/\sim$ はこのかけ算について半群になる。
4. $R/\sim$ は上で定義された足し算、かけざんに関し環をなす。 しかも、この環は単位元 $\bar{1}$ を持つ。

定義 4.1   上の補題の仮定のもとで、 $R/\sim$ に上のような足し算、かけ算を入れて 環にしたものを $R/I$ と書き、$R$ の $I$ による 剰余環と呼ぶ。

例題 4.1   $17770430$ を $9$ で割った余りを求めよ。

(解答) 整数 $n$ の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/9{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ におけるクラス(剰余類)を $\bar{n}$ と書くことにする。 一般に、 $\overline{10}=\overline{1}$ であることに注意すると、

$$\overline{10}^k =\overline{1} \quad (k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0})$$

というという等式が成り立つことがわかる。これを用いると、

$$\overline{17770430} = \overline{ 1\times 10^7 +7\times 10^6 +7\times 10^5 +7\times 10^4 }$$

$$\overline{ +0\times 10^3 +4\times 10^2 +3\times 10^1 +0 }$$

$$= \overline{1}\times \overline{10}^7 +\overline{7}\times \overline{10}^6 +\overline{7}\times \overline{10}^5 +\overline{7}\times \overline{10}^4$$

$$+\overline{0}\times \overline{10}^3 +\overline{4}\times \overline{10}^2 +\overline{3}\times \overline{10}^1 +\overline{0}$$

$$= \overline{1} +\overline{7} +\overline{7} +\overline{7} +\overline{0} +\overline{4} +\overline{3} +\overline{0}$$

$$=\overline{1+7+7+7+0+4+3+0}$$

$$=\overline{29}=\overline{2\times 10+9}=\overline{2+9}=\overline{2}$$

を得る。

(答え)     $2$

(注意) 九去算は計算機のない時代に、計算の確かめの目的で使われた。現在でも、 占い(バカラ占い)等で名残を見かけることがある。

問題:

あなたの思い付いた8桁以上の数(簡単すぎないもの)を $x$ とします。 このとき、 $x \times 314159265+1234567$ を9で割ったあまりを (計算機やコンピュータを使わずに) 求めなさい。$x$ 自身と、求め方も書くこと。なお、検算にコンピュータ等を 使用するのは構わないし、むしろ推奨する。