環論 No.2要約

定義 2.1 (「生成される部分環」)   $R$ を単位元を持つ環とし、$T$ をその部分集合とする。 $R$ の部分環 $S$ が $T$ で環として生成されるとは、 次の三つの条件が満たされる時にいう。

1. $S$ は $T$ を部分集合として含む。
2. $S$ は $R$ の部分環である。
3. $S$ は (1),(2)を満たす最小のものである。

補題 2.1   単位元を持つ環 $R$ と、その部分集合 $T$ が与えられていたとする。このとき、 $R$ の部分環 $S$ で、$T$ で環として生成されるものがただ一つ存在する。 ($S$ のことを $T$ で生成される $R$ の部分環といい、 $\langle T \rangle_{\text{ring}}$ と書く。

注意: 「部分環」の定義により、 $\langle T \rangle_{\text{ring}}$ は($T$ が何であっても) 常に $R$ の単位元 $1_R$ を元としてもつ。 しかし、単位元の存在を意識しておくために、以下では 始めから $T$ には $R$ の単位元 $1_R$ が入ったものだけを考えることにする。

例 2.1   ${\mathbb{C}}$ の部分集合 $T$ と、それによって生成される ${\mathbb{C}}$ の部分環 $\langle T \rangle_{\text{ring}}$ の例。

1. $T=\{1\} \quad \implies \quad\langle T \rangle_{\text{ring}}={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$.
2. $T=\{1,\sqrt{-1}\}\quad \implies \quad \langle T \rangle_{\text{ring}}={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\sqrt{-1}$
3. $T=\{1,\sqrt{2}\}\quad \implies \quad \langle T \rangle_{\text{ring}}={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\sqrt{2}$
4. $T=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\cup \{\sqrt{2}\} \quad \implies \quad \langle T \rangle_{\text{ring}} =\mbox{${\mathbb{Q}}$}+\mbox{${\mathbb{Q}}$}\sqrt{2}$
5. $T=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\cup \{\sqrt[3]{2}\} \quad \implies \quad \lang... ...\mathbb{Q}}$}+\mbox{${\mathbb{Q}}$}\sqrt[3]{2}+\mbox{${\mathbb{Q}}$}\sqrt[3]{4}$

上の補題の証明の途中で、次の補題が必要になるので、ここに掲げておく。

補題 2.2 (「任意個数の部分環の共通部分はまた部分環である。」)   $R$ は環であるとし、 $\{S_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ は $R$ の部分環の族であったとする。このとき、

$$S=\cap_\lambda S_\lambda$$

もまた $R$ の部分環になる。

実際には、生成される部分環には次のパターンのものがよく使われる。

定義 2.2   $R$ を環、$S$ をその部分環とする。$R$ の元 $r_1,\dots,r_n$ が与えられたとき、 $R$ の部分集合 $S\cup \{r_1,\dots,r_n\}$ で生成される部分環を、 $S[r_1,\dots,r_n]$ と書き、$S$ 上 $\{r_1,\dots,r_n\}$ で生成された環 とよぶ。

この記法によれば、上の例の (4),(5) はそれぞれ次のように書ける。

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$[\sqrt{2}]=$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$+$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$\sqrt{2} ,$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$[\sqrt[3]{2}] =$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$+$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$\sqrt[3]{2}+$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$\sqrt[3]{4}$$

このように、 $S[r_1,\dots,r_n]$ が実際にはどのような元を もつのか決定することも基本的で、重要である。それは通常 次の手順で行う。

1. $S[r_1,\dots,r_n]$ の候補 $T$ を探す。
2. $T$ は $S[r_1,\dots,r_n]$ を部分集合として含むことを証明する。
3. $T$ は $R$ の部分集合であることを証明する。
4. $T$ の元は $S$ と、 $r_1,\dots,r_n$ から構成し得ることを 証明する。言い換えると、 $S\cup \{r_1,\dots,r_n\}$ を部分集合として含む $R$ の部分環は、必ず $T$ を含むことを証明する。

定義 2.3   $R$ は環であるとする。このとき、$X$ を変数とする $R$ 係数の一変数多項式の全体

$$\{\sum_{i=0}^n a_iX^i ;\quad n\in \mathbb{N}, a_i \in R\}$$

は環をなす。(足し算、かけ算は通常のものを考える。) この環を( $X$ を変数とする) $R$ 上の一変数多項式環という。

定理 2.1   $X$ を変数とする $R$ 上の一変数多項式環は、$R$ と、$X$ とで生成される。

$$\{\sum_{i=0}^n a_iX^i ;\quad n\in \mathbb{N}, a_i \in R\} =\langle R\cup \{X\} \rangle_{\text{ring}}=R[X]$$

(したがって、これからは $R$ 上の一変数多項式環のことを $R[X]$ と書く。)

注意

本講義 の範囲では他に ${\mathbb{C}}[X],$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ 等が重要になる。 ( $\mbox{${\mathbb{R}}$}$, ${\mathbb{C}}$, $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ は全て体である。すなわち積は可換であり、 0 以外の各元は逆元を持つ。)

[発展] (講義の中で解説はしない。興味のある人は各自研究のこと。)

同様にして、2変数多項式環 $R[X,Y]$,3変数多項式環 $R[X,Y,Z]$ 等が定義される。

$$R[X,Y]=\{\sum_{\substack{i,j\geq 0\\ \text{(有限和)}}} a_{i,j} X^i Y^j ; a_{i,j}\in R\}$$

$$R[X,Y,Z]=\{\sum_ {\substack{i,j,k\geq 0\\ \text{(有限和)}}} a_{i,j} X^i Y^j Z^k ; a_{i,j,k}\in R\}$$

さらに一般に、 $X_1,X_2,\dots X_n$ を変数とする $R$ 係数の多項式環が 定義される。

$$R[X_1,X_2,\dots, X_n] =\{ \sum_ { {... ...^{i_1} X_2^{i_2} X_3^{i_3} \dots X_n^{i_n} ;a_{i_1,i_2,\dots, i_n}\in R \}$$

多項式 $p=\sum a_{i_1,i_2,\dots, i_n } X_1^{i_1} X_2^{i_2} X_3^{i_3} \dots X_n^{i_n}$ は書くのが面倒なので、多重指数を用いると便利である。 $I=\{i_1,i_2,\dots, i_n\} , \quad a_I=a_{i_1,i_2,\dots, i_n} , \quad X^I= X_1^{i_1} X_2^{i_2} X_3^{i_3} \dots X_n^{i_n}$ という略記法を用いると、$p$ は $\sum_I a_I X^I$ と簡略化して書ける。 定義により、 環 $R[X_1,\dots, X_n]$ は 環 $R[X_1,\dots, X_{n-1}]$ 上の $X_n$ を変数とする 一変数多項式環と同じものとみなせる。