理工系線形代数学 例題

言うまでもないことだが、数値的な答だけでは十分ではない。 論理的な説明がもっと大事である。

例題 15.1   $x,y,z,w$ は実数であるとする。

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & x \\ 1 & y \\ 1 & z \\ 1 & w \end{bmatrix}$$

を正しく計算せよ。

例題 15.2  

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

に対して、

1. $\operatorname{Ker}(A)$ をもとめよ。
2. $\operatorname{Image}(A)$ を求めよ。
3. $A$ に対する次元定理を、 $\dim \operatorname{Ker}(A)$ 等がこの場合にはどのような値になるかをきちんと当てはめて、書け。

例題 15.3   $a,b$ は実数とする。

$$B= \begin{bmatrix} -1 & 4 & 0 \\ 4 & -1 & 0 \\ a & b & 2 \end{bmatrix}$$

とおく。

1. $B$ の固有値をすべて求めよ。
2. $B$ の各固有値に属する固有ベクトルをそれぞれ求めよ。
3. $B$ を対角化せよ。

(略解)

15.1

$$\begin{bmatrix} 10 & x + 2y +3 z +4 w \\ 26 & 5 x + 6y + 7 z +8 w \end{bmatrix}$$

15.2

(1)

$$\operatorname{Ker}(A)= \left\{ t \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\... ...\ 0 \\ 11 \\ -13 \\ 1 \end{bmatrix}; t,u\in\mbox{${\mathbb{R}}$} \right\}$$

(2)

$$\operatorname{Image}(A)= \left\{ \begin{bmatrix} \alpha\\ \beta ... ... 1 \\ 0 \end{bmatrix}; \alpha,\beta,\gamma \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \right\}$$

(3) $A:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^5\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^4$

$$\begin{alignedat}{6} \dim &(\mbox{${\mathbb{R}}$}^5)& && & -&\... ...peratorname{Image}(A)) \\ &5& & &&-& &2 &&=&& 3 \end{alignedat}$$

15.3.

(1) $B$ の固有値は $-5,3,2$.

(2) $B$ の $-5$ に対する固有ベクトルは $\begin{bmatrix} 7 \\ -7 \\ b-a \end{bmatrix}$ $B$ の $3$ に対する固有ベクトルは $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ a+b \end{bmatrix}$ $B$ の $2$ に対応する固有ベクトルは $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

(3)

$$P= \begin{bmatrix} 7 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0\\ b-a& a+b & 1 \end{bmatrix}$$

とおくと、

$$P^{-1} BP={\operatorname{diagonal}}(-5,3,2).$$