理工系線形代数学 No.11要約

今日のテーマ: (3次元)空間のベクトル

3次元空間の直線の表現法。 $\{ t \mathbbm v + \mathbbm w; t \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\}$

成分で書く方法もある。

$$\frac{x-w_1}{v_1}=\frac{y-w_2}{v_2}=\frac{z-w_3}{v_3}.$$

3次元空間の平面の表現法。 $\{t \mathbbm a + u \mathbbm b +\mathbbm w; t, u \in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\}$

成分で書く方法もある。

$$c_1 (x-w_1)+c_2(y-w_2)+c_3(z-w_3)=0.$$

内積でかく手もある。

2次元平面での直線の書き方も上に準ずるのであった。

三次元計量ベクトル空間には「外積」という概念もある。 分野によっては大事であるのでここで定義を押さえておこう。

定義 11.1   3次元計量ベクトル空間 $V$ には次のような性質をもつ「外積」が存在する。

1. 双線形性(2重線形性)
2. 反対称(交代的) $\mathbbm a \times \mathbbm b=$ $-\mathbbm b \times \mathbbm a$
3. $\mathbbm a \times \mathbbm b$ は $\mathbbm a$ や $\mathbbm b$ と 直交し、長さは２つのベクトルの長さの積 $\vert\mathbbm a\vert \vert\mathbbm b\vert$ である。
4. (向き付けとの関係) 向き付との関係は大事であるが、 (xyz座標系をどのように描くかなど) 使用する時々によって若干違ってくる。ここでは、標準となる正規直交系 $\mathbbm e_1,\mathbbm e_2, \mathbbm e_3$ がすでに決まっていて、 $\mathbbm e_1 \times \mathbbm e_2 = \mathbbm e_3$ を満たしている、という形で述べるにとどめておく。