理工系線形代数学 No.3要約

今日のテーマ:連立方程式の解法と行基本操作

連立一次方程式は行列算で表現できる。例えば、

$$\left \{ \begin{aligned} & x + y= 5 \\ &2 x + 4 y =16 \end{aligned}\right .$$

は

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 5 \\ 16 \end{bmatrix}$$

と表現できる。 さらに、 $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ , $\mathbbm x= \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ , $\mathbbm b = \begin{bmatrix} 5 \\ 16 \end{bmatrix}$ とおけば、 これは更に簡潔に $A \mathbbm x= \mathbbm b$ と表記できる。

更に次のような方程式を考えてみよう。

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\begin{bma... ... y \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 5 \\ 16 \\ 23 \end{bmatrix}\tag{あ}$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\begin{bma... ... y \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 5 \\ 16 \\ 20 \end{bmatrix}\tag{い}$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatri... ... y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}\tag{う}$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 &0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \end{bmatrix... ... y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\tag{え}$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 &0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \end{bmatrix... ... y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 16 \end{bmatrix}\tag{お}$$

これらの連立方程式は「加減法」によって解けるのであった。 行列でも同じことを行うことができる。行列の行基本操作 とは、

1. ２つの行を入れ替える。
2. 特定のひとつの行に、別の行の定数倍を加える。
3. 特定の一つの行を定数倍する。

という操作のことを言う。

行列は行基本操作を何度も行うことにより、簡単な行列に変形することができる。 このことは、方程式を解くときはもちろん、それ以外の目的でも大変重要である。