代数学 IA No.12要約

準同型定理の適用例

例 12.1  

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $C_n=\langle a; a^n=e \rangle$ への写像 $\varphi$ を

$$\varphi(k)=a^k \quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

で定義すると、

1. $\varphi$ は $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ から $C_n$ への 群準同型である。
2. $\operatorname{Ker}(\varphi)=n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
3. $\operatorname{Image}(\varphi)=C_n$ . (つまり、$\varphi$ は全射。
4. 群の準同型定理により、 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の部分群であり、なおかつ群としての同型
   $$\bar{\varphi}:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong C_n$$
   が $\bar{\varphi}([k]_n)=a^k$ で定まる。

例 12.2  

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ から ${\mathbb{C}}^{\times}$ への写像 $\varphi$ を

$$\varphi(x)=e^{\sqrt{-1} x}$$

で定義すると、

1. $\varphi$ は $($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$,+)$ から $({\mathbb{C}}^{\times},\times)$ への 群準同型である。
2. $\operatorname{Ker}(\varphi)=2 \pi {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
3. $\operatorname{Image}(\varphi)=\{z\in {\mathbb{C}}; \vert z\vert=1\}$ . (複素平面上の単位円周。)
4. 群の準同型定理により、 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ や $\operatorname{Image}(\varphi)$ は それぞれ $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , ${\mathbb{C}}^{\times}$ の部分群であり、なおかつ 群としての同型
   $$\bar{\varphi}:$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$/2 \pi {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong \{z\in {\mathbb{C}}; \vert z\vert=1\}$$
   が
   $$\bar{\varphi}( x \mod 2\pi {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})=e^{\sqrt{-1}x}$$
   により定まる。

例 12.3  

ベクトル空間 $V$ から $W$ への線形写像 $f$ は、$(V,+)$ から $(W,+)$ への 群準同型である。従って、群の準同型定理が適用できて、 (加法)群の同型 $V/\operatorname{Ker}(f) \cong f(V)$ が成り立つことがわかる。じつはこの同型写像は線形空間の準同型定理で 言及されているものと写像としては同じである。 (線形写像のほうがスカラー倍も考えている分だけ情報が多い。)

問題

(I).

$($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2,+)$ から $($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2,+)$ への写像 $f$ を

$$f \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= f \begin{pmatrix} x+y\\ 0 \end{pmatrix}$$

で定義するとき、$f$ は(加法)群の準同型写像であることを示し、 その核と像を求めなさい。