代数学III要約 No.13

ガロア対応の例

例 13.1   $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11}, \omega), \quad K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$. (但し $\omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}$). $L$ は $K$ のガロア拡大である。 ガロア群 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ の生成元としては

$$% latex2html id marker 1086a: \begin{cases} \sqrt[3]{11}&\... ...}&\mapsto \sqrt[3]{11} \\ \omega&\mapsto \omega^2 \end{cases}$$

で定義される $a,b$ がとれて、

$$a^3=e,\quad b^2=e,\quad b^{-1} a b = a^{-1}.$$

を満たす。ゆえに、

$$G=\operatorname{Gal}(L/K)\cong \mathfrak{S}_3$$   (3次の対称群)$$.$$

$G$ の部分群は $G$ と $\{e\}$ のほかに:

• 位数 $2$ のもの 3つ。($\{e,b\}$, $\{e,a b\}$, $\{e, a^b \}$).
• 位数 $3$ のもの 1つ ( $\{e,a,a^2\}$)。

それらに対応する中間体は

• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11}),$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11}\omega^2),$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11} \omega)$.
• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\omega)$.

例 13.2   $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3}, i), \quad K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$. (但し $i=\sqrt{-1}$.) $L$ は $K$ のガロア拡大である。 ガロア群 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ の生成元としては

$$% latex2html id marker 1141a: \begin{cases} \sqrt[4]{3}&\m... ...} \sqrt[4]{3}&\mapsto \sqrt[4]{3} \\ i &\mapsto -i \end{cases}$$

で定義される $a,b$ がとれて、

$$a^4=e,\quad b^2=e,\quad b^{-1} a b = a^{-1}.$$

を満たす。ゆえに、

$$G=\operatorname{Gal}(L/K)\cong \mathbb{D}_4$$   (二面体群)

$G$ の部分群は $G$ と $\{e\}$ のほかに:

• 位数 $2$ のもの 5つ。 ( $\{e,a^2\}$, $\{e,b\}$, $\{e,a b\}$, $\{e,a^2 b\}$, $\{e,a^3 b\}$).
• 位数 $4$ のもの 3つ。 ( $\{e,a,a^2,a^3\}$, $\{e,a^2,b,a^2 b\}$, $\{e,a^2, a b, a^3 b\}$).

それらに対応する中間体は

• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$( \sqrt{3},i)$, $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3})$, $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3}(1-i))$. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3} i)$, $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3}(1+i))$,
• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(i)$, $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3})$, $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3}i)$.

問題 13.1   $\zeta_5=\cos(2 \pi/5)+ \sqrt{-1} \sin(2 \pi/5)$ とおく($1$ の $5$ 乗根)。 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[5]{2},\zeta_5)$ と $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のあいだの中間体で、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上拡大次数が $5$ のものを $2$ つ以上求めよ。

◎ 二重根号

$\alpha=\sqrt{3+\sqrt{2}}$ とおく。このとき、

1. $\alpha$ の $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の最小多項式は $m(X)=(X^2-3)^2-2$ である。
2. $m(X)$ の最小分解体 $L$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2},\sqrt{7})$ を部分体として含む。
3. ガロア群 $\operatorname{Gal}(L/$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ の元 $\sigma$ で、 $\sigma(\sqrt{2})=-\sqrt{2}$, $\sigma(\sqrt{7})=-\sqrt{7}$ を満たすものが存在する。
4. $\sigma^2\neq {\operatorname{id}}$.
5. $[L:$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$]=8$ で、 $L\supsetneq$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2},\sqrt{7})$.
6. $\alpha\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{a_1},\sqrt{a_2},\dots, \sqrt{a_k})$ を満たすような $k\in \mathbb{N}, a_1,a_2,\dots, a_k \in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ は存在しない。