1=5

代数学 IA No.5要約

《有限群の部分群(オイラー・ラグランジュの定理)》

命題 5.1   $\mu_n({\mathbb{C}})$ の部分群 $H$ の元の個数は必ず $n$ の約数である。

状況を観察するために、次の例を考えよう。

例 5.2   $G=\mu_{12}({\mathbb{C}})$ とその 部分群 $H=\mu_4$ を考える。

1. $H$ を「ずらしたもの」 $H$ , $H\zeta$ , $H\zeta^2$ が 綺麗に並んでいる。
2. $G$ は $H$ を「ずらしたもの」$H$ , $H\zeta$ , $H\zeta^2$ ３つの和集合として書ける。
3. $G$ の「ずらしたもの」($G$ の元をかけて作ったもの)はこれらしかなく、 また、それらは互いに交わらない(か、完全に一致するかのどちらかである)。
4. $H , \quad H\zeta, \quad H\zeta^2$ はどれも元の数が $4$ つである。
5. $\vert G\vert= \vert H\vert \times 3$ .

一般の群についても同じようなことが言える:

定理 5.3 (オイラー・ラグランジュ)   有限群 $G$ の部分群 $H$ が与えられたとする。このとき、

1. $G$ は $H a$ の形の部分集合の互いに交わらない和集合である。
   $$G=H a_1 \coprod H a_2 \coprod \dots \coprod H a_t \qquad (\exists a_1,a_2,\dots, a_t \in G)$$

2. 各「クラス」 $H a$ の元の数は $H$ の元の数と等しい。
3. 異なる「クラス」 $H a$ の数(上の $t$ のこと)を $[G:H]$ と書くことにすると、
   $$\vert G\vert=\vert H\vert [G:H]$$
   が成り立つ。

系 5.4   有限群 $G$ の各元 $g$ にたいして、

1. $g$ の位数 ${\operatorname{ord}}(g)$ は有限である。
2. $g$ で生成される $G$ の部分群 $\langle g \rangle$ の(群としての)位数 は ${\operatorname{ord}}(g)$ と等しい
3. ${\operatorname{ord}}(g)$ は $\vert G\vert$ の約数である。(オイラーの定理)