代数学 IA No.1要約

一学期の目標

代数系, 特に, 群。

代数系とは、集合の上に演算を載せたものである。

載せる演算の種類によっていろいろなものができる。

演算	演算の記号	代数系
和, 差	$+,-$	加群
積	$\times$	半群
積,商	$\times, \bullet^{-1}$	群
和,差,積	$+,-,\times$	環
和,差,積,0 以外での商	$+,-,\times, \bullet ^{-1}$	体

定義 1.1   集合 $S$ 上の $2$ 項演算とは、 写像 $S\times S \to S$ のことである。

例 1.2   次のものは ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上の二項演算である。

1. $+: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni (a,b)\mapsto a+b \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ (加法)
2. $\cdot : {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni (a,b)\mapsto a b \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ (乗法)
3. $- : {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni (a,b)\mapsto a- b \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ (減法)
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni (a,b)\mapsto (a+ 2 b) \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$

○1項演算、3項演算、4項演算等も同様に定義される。 例えば、

例 1.3  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni n \mapsto -n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上の1項演算である。
2. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\times$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\times$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\ni (a,b,c)\mapsto \frac{a+b+c}{3} \ni$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の $3$ 項演算である。

定義 1.4 (群の定義)   集合 $G$ が群であるとは、

(群0)二項演算 $G\times G\ni(x,y) \mapsto x \circ y\in G$ が定義されていて、 次の条件を満たすときに言う。

(群1).

その演算は結合法則を満たす。

$$(x\circ y) \circ z =x \circ (y\circ z) \quad (\forall x,y,z \in G)$$

(群2).

$G$ には単位元(普通 $e$ と書かれる)が存在する。すなわち、 ある $G$ の元 $e$ があって、

$$e \circ x=x, \quad x \circ e=x \quad (\forall x \in G)$$

がなり立つ。

(群3).

$G$ の各元には逆元がある。すなわち、$G$ の任意の元 $x$ に対して、 $G$ のある元 $y$ が存在して、

$$x \circ y=e,\quad y \circ x=e$$

がなりたつ。

群の定義において、集合 $G$ を決めただけではどんな演算を考えているのか 明確でないので、正確には、組 $(G,\circ)$ を群と呼ぶ。

例 1.5   次の $G$ はそれぞれ通常の乗法を演算とする群である。

1. $G=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\setminus \{0\}$ . (これを $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の 乗法群 $($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^{\times} ,\times)$ と呼ぶ。)
2. $G={\operatorname{GL}}_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$

例 1.6   次の $(G,\circ)$ はそれぞれ乗法を演算とする群でない。

1. $G={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $x \circ y=xy$ .
2. $G=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $x \circ y=xy$ .

定義 1.7   演算が可換で、かつ $+$ 記号で書かれるような群のことを加法群 と呼ぶ。加法群は加群とも呼ばれる。

例 1.8   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 等はそれぞれ(通常の加法に関して)加法群である。 $2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ も加法群である。

加法群も群の一種に過ぎないことに注意。 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の加法群のことを $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ と書く。

例 1.9   $\{-1,0,1\}$ は(通常の加法に関して)群ではない。

問題

(I).

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\setminus \{-100\}$ は加法に関して群をなすだろうか、 理由を挙げて述べなさい。

(II).

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に、演算 $\circ$ を

$$x \circ y=x+y+3$$

で定義する。このとき、 $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\circ )$ は群であるか、理由をつけて答えなさい。

● http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi にこのプリント を提供する.