理工系線形代数学 No.7要約

今日のテーマ:行列式(2)

命題 7.1   $\operatorname{det}(AB)=\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B)$ が任意の $A,B \in M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ に対して成り立つ。

定義 7.2   行列 $A$ が与えられた時、その $i$ 行と $j$ 列を引っこ抜き, その行列式をとって ついでに符号 $(-1)^{i+j}$ をつけたものを $A$ の余因子といい、 $A_{ij}$ で書き表す。

補題 7.3   $A$ の $1$ 列目が基本列ベクトル $e_i$ に等しいならば、 $\operatorname{det}(A)= A_{i 1}$ .

(もっと一般に、$A$ の $j$ 列目が $e_i$ に等しいならば、 $\operatorname{det}(A)=A_{ij}$ .)

命題 7.4 (行列式の $1$ 行目に関する展開)   任意の $n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ に対して、

$$\operatorname{det}(A)=\sum_{j=1}^n a_{1j} A_{1j}$$

が成り立つ。

上の命題と同様にして、$2$ 行目、$3$ 行目,... $n$ 行目に関する展開が 得られる。$A$ を、「$A$ の$1$ 列目を $A$ の $k$ 列目に置き換えた行列」 に置き換えることにより、つぎの結果を得ることができる。

命題 7.5   任意の $n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ に対して、

$$\sum_{j=1}^n a_{kj} A_{1j}=0 \qquad (k=2, \dots , n)$$

が成り立つ。

これもまた、$1$ 行目だけについて特別に言えることではなく、結局次のことが言える:

命題 7.6   任意の $n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ に対して、

$$\sum_{j=1}^n a_{kj} A_{mj}= \delta _{k m} \operatorname{det}(A) \qquad (\forall k,\forall m \in \{1,2,\dots ,n\})$$

が成り立つ。

この式は次のことを意味している:

命題 7.7 (クラーメルの公式)   任意の $n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ に対して、 各 $ij$ 成分が $A$ の余因 $A_{ji}$ であるような行列 ($i,j$ の順番に注意。)を $\tilde A$ と書くことにする。 ($\tilde A$ のことを $A$ の余因子行列とよぶ。) このとき、

$$A \tilde A = \operatorname{det}(A)$$

系 7.1   $n$ 次正方行列 $A$ が逆行列を持つことと、 $\operatorname{det}(A)\neq 0$ とは同値である。