微分積分学基礎 No.14要約

今日のテーマ:ガウス積分

次の等式はいろいろなところに出没するので取り上げておく。

定理 14.1  

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} d x= \sqrt{\pi}$$

ここではこれを(若干反則気味だが)次のことを用いて説明する。

定理 14.2  

$$\int_{-\infty}^\infty( \int_{-\infty}^\infty e^{-x_1^2-x_2^2} d x_1) d x_2= \pi$$

この等式の左辺は $y=e^{-x^2}$ を $y$ 軸に関して回転させた 回転体の体積に等しい。よって、

補題 14.3  

$$\int_{-\infty}^\infty( \int_{-\infty}^\infty e^{-x_1^2-x_2^2} d x_1) d x_2 = \pi \int_0^1(\sqrt{-\log(y)})^2 dy$$

系 14.4  

$$\int_{-\infty}^\infty x^{2n} e^{-a x^2} d x= \frac{(2n-1)!!}{2^n a^n} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \qquad(n=1,2,3,\dots)$$

ここで、$n!!$ は $n$ の二重階乗と呼ばれるもので、$n$ から２つづつ下がって $1$ に至るまでの積である。 $(-1)!!=1$ に注意。