微分積分学基礎 No.12要約

今日のテーマ:広義積分

定義 12.1   $f$ が $(a,b]$ で連続で、

$$\lim_{c\to a+0}\int_c^b f(x) dx =\lim_{\delta \to+0}\int_{a+\delta}^b f(x) dx$$

をもつとき、この値を $f$ の $a$ から $b$ までの広義積分と呼び、

$$\int_a^b f(x) dx$$

と書く。

例:

$$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}= 2.$$

$f$ が $b$ で定義されない場合や、不連続点を $(a,b)$ の内部に持つ場合にも 同様に極限で広義積分が定義される。 区間が無限区間でも同様である。

例

$$\int_0^\infty \frac{dx}{ 1+x^2}=\frac{\pi}{2}.$$