微分積分学基礎 No.2要約

今日のテーマ:数列

定義 2.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ 上の関数を数列という。数列のことを $a_1,a_2,\dots,a_n,\dots$ と書いたり、 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ と書いたりする。

単に数列と言ったときには、有限数列は考えない。 他方で、「(添字が)0 から始まる数列」なども場合によっては考えることがあるが、 それについては臨機応変に。

◎有界

定義 2.2  

1. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $S$ が有界であるとは、 ある実数 $M_1,M_2$ があって、どのような $x\in S$ に対しても $M_1\leq x \leq M_2$ を満たすときに言う。
2. 実数列 $\{a_n\}$ が有界であるとは、 それを $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合と見て有界であるときに言う。
3. 集合 $X$ 上の関数 $f$ が有界であるとは、値集合 $\{f(x)\}_{x\in X}$ が有界であるときにいう。

(2) は (3)の特別の場合とも見ることができる。(3)については次回以降に解説する。

◎極限

定義 2.3   数列 $\{a_n\}$ は、ある実数 $a$ にたいして、

$$\forall \epsilon>0 \exists N$$    such that $$(n>N\implies \vert a_n -a\vert<\epsilon$$

をみたすとき、$a$ に収束する という。 $\{a_n\}$ が $a$ に収束するとき、 その収束する先 $a$ は一つに定まる。そこで この値のことを $\{a_n\}$ の $n\to \infty$ のときの極限とよび、

$$\lim_{n\to \infty } a_n$$

と表す。

命題 2.4   $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ とが収束すると仮定する。このとき、

1. $$\lim_{n\to \infty } (a_n+b_n)= \lim_{n\to \infty } a_n +\lim_{n\to \infty } b_n$$

2. $$\lim_{n\to \infty } (a_n-b_n)= \lim_{n\to \infty } a_n -\lim_{n\to \infty } b_n$$

3. $$\lim_{n\to \infty } (a_n b_n)= \lim_{n\to \infty } a_n \lim_{n\to \infty } b_n$$

4. さらに $\lim_n b_n \neq 0$ を仮定すると、 有限個の例外を除いて $b_n\neq 0$ で、
   $$\lim_{n\to \infty } (a_n/ b_n)= \lim_{n\to \infty } a_n /\lim_{n\to \infty } b_n$$