����� IB No.15����

̿�� 15.1   ���� $R$ �ˤĤ��ơ����ξ���ͤ��롣

(���1).

$R$ �ϥ͡������ĤǤ��롣

(���2).

Ǥ�դ� $a,b\in R$ ���Ф��ơ����� $d$ �Ȥ��� $R$ �� ����¸�ߤ��ơ� $(a,b)=(d)$ ����������

(���3).

$R$ �δ��󸵤Ϥ��٤��Ǹ��Ǥ��롣

���ΤȤ���

1. $R$ ��ED �Ǥ���С�(���1) ��(���2) ������Ω�ġ�
2. $R$ ��PID �Ǥ��뤳�Ȥϡ�((���1) and (���2)) ��Ʊ�ͤǤ��롣
3. (��� 2) ���� (���3)��������
4. (���1)and (���3)���� $R$ �� UFD �Ǥ��뤳�Ȥ�������

$R$ ��Ǥ�դΥ��ǥ��뤬ͭ�¸Ĥθ������������ ���˸����ΤǤ��ä���

���� 15.1   �͡����ĤΥ��ǥ����������⡢ɬ���ɤ����ǻߤޤ롣

��� 15.1   $R_1,R_2$ �ϴĤǤ���Ȥ��롣���ΤȤ���$R_1,R_2$ �δĤȤ��Ƥ�ľ�� �Ȥϡ��ǥ�����ѽ��� $R_1\times R_2$ �ξ�ˡ� ���Τ褦�ʱ黻�����������ΤǤ��롣

$$(a,b) + (c,d)=(a+c,b+d), \quad (a,b)\times (c,d)= (ac,bd)$$

$R_1$ �� $R_2$ �δĤȤ��Ƥ�ľ�Ѥ����� $R_1\times R_2$ �Ƚ񤯡�

���� 15.2   $R_1,R_2$ �ϴĤǤ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $R_1\times R_2$ �ϴĤˤʤ롣
2. $R_1,R_2$ ��ñ�̸� �����줾�� $1_{R_1},1_{R_2}$ �Ȥ���ȡ� $R_1\times R_2$ ��ñ�̸��� $(1_{R_1},1_{R_2})$ �Ǥ��롣
3. $R_1,R_2$ ���Ȥ�˲Ĵ��ʤ�С� $R_1\times R_2$ ��Ĵ��Ǥ��롣

̿�� 15.2   �� $R$ �θ� $a,b$ �� $(a,b)=(1)$ ���������Ȥ���

$$R/(a b)\ni [x]_{ab} \mapsto ([x]_a, [y]_b) \ni R/(a) \times R/(b)$$

�ʤ�����ϴĤ�Ʊ����Ϳ���롣