����� IB No.12����

���Ǹ�ʬ��ġ�(2)

��� 12.1   �� $R$ �� $a,b\in R$ �Ȥˤ������ơ�

1. $a \in b R$ �ΤȤ��� $a$ �� $b$ ���ܸ��Ǥ���Ȥ����� $b\vert a$ �ǽ�ɽ����$b$ ����Ȥ��ơ�$b$ �� $a$ ���󸵤Ǥ���Ȥ⤤����
2. ���� $u \in R^\times$ �����äơ�$a=bu$ ��ߤ����Ȥ���$a$ �� $b$ �Ȥ� Ʊȼ�Ǥ���Ȥ�����

̿�� 12.1   ���� $R$ �θ� $a,b$ �ˤ������ơ�

1. $(a) \subset (b) {\Leftrightarrow} b\vert a$ .
2. $a$ �� $b$ ��Ʊȼ ${\Leftrightarrow}$ $(a)=(b)$ .

��� 12.2   ���� $R$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣$d_0\in R$ �� $a,b\in R$ �� �������($\gcd$ ) �Ǥ���Ȥ�

$$\forall d \in R \left ( \ d \vert d_0 \quad {\Leftrightarrow}\quad ( d \vert a \text{ ¤«¤Ä }d\vert b) \ \right)$$

������Ω�ĤȤ��˸�����

���� 12.1   ñ�।�ǥ���� $R$ �Υ��ǥ����������

$$I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset I_4 \subset \dots$$

��ɬ���ɤ����ǻߤޤ롣���ʤ������ $N$ �����äơ�

$$I_N=I_{N+1}=I_{N+2}=\dots$$

���ʤꤿ�ġ�

�������ϥ͡����Ĥΰ��������ü�ʾ��Ǥ��롣 �����ǡ�$R$ ���͡������Ǥ���Ȥϡ� $R$ ��Ǥ�դΥ��ǥ��뤬ͭ�¸Ĥθ������������ ���˸������͡����ĤΥ��ǥ����������⡢ɬ���ɤ����ǻߤޤ뤳�Ȥ������Ǥ��롣 �����ϤۤȤ��Ʊ���ʤΤǿʤ���ٶ��������ͤϤ�äƤߤ�����ɤ��� (;�̤ʤ���͡����Ĥϴ����ˤ��������ѽ��פ��оݤǤ��롣 �ξ�ͭ�������ʴĤ����ƥ͡����ĤǤ��롣(�ҥ�٥�Ȥδ�����))

̿�� 12.2   $R$ ���Ǹ�ʬ��Ĥʤ�С� $R\setminus \{0\}$ �γƸ���

$$u p_1 p_2 \dots p_l \qquad(l \in \mathbb{N}, u\in R^\times , p_1,\dots,p_l$$    �� $R$ ���Ǹ�$$)$$

�Ƚ񤯤��Ȥ��Ǥ��뤬�����ν�����Ʊȼ������ư��Ū�Ǥ��롣 ���ʤ����

$$u p_1 p_2 \dots p_l =v q_1q_2 \dots q_m$$

$$(l,m \in \mathbb{N}, u,v\in R^\times , p_1,\dots,p_l,q_1,\dots,q_m R )$$

�ʤ�С�$l=m$ �Ǥ��äơ��ʤ����Ĥ��� $\sigma\in \mathfrak{S}_l$ �����ä� �� $j$ �ˤ������� $p_j$ �� $q_{\sigma(j)}$ �Ϥ��줾��Ʊȼ�ˤʤ롣

���� 12.1   ���� $R$ �θ� $a,b$ �κ�����󸵤�2�Ĥ��ä��Ȥ���С� �����ϸߤ���Ʊȼ�Ǥ��뤳�Ȥ�������衣

• ED: Euclidean domain
• PID: principal ideal domain
• UFD: unique factorization domain ľ���ϡְ��ʬ��ġס�